Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede: resolver a desigualdade
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A desigualdade é
. - Queremos encontrar todos os valores de
(números reais) que satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro passo técnico: passar tudo para o mesmo lado para comparar com zero. Subtraindo
dos dois lados obtemos a desigualdade equivalente
Explicação rápida: é mais fácil analisar uma expressão polinomial quando colocada comparada a zero, porque então podemos estudar o sinal do polinômio.
Passo 3
Agora fatoramos o polinômio
. Para fatorar um quadrático
procuramos dois números cuja soma é
e cujo produto é
. Aqui
e
. Dois números que satisfazem isso são
e
, porque
e
. Portanto
Passo 4
As raízes (zeros) do polinômio são os valores de
que anulam cada fator:
Como a desigualdade é estrita (
), os pontos
e
não pertencem à solução; eles são pontos onde a expressão vale zero.
Passo 5
Agora fazemos a análise de sinal do produto
. Um produto de dois fatores muda de sinal apenas nos zeros
e
. Assim a reta real fica dividida em três intervalos:
,
e
. Para saber em quais intervalos o produto é positivo, podemos testar um ponto em cada intervalo:
- Para
(no intervalo ): - Para
(no intervalo ): - Para
(no intervalo ):
Portanto o produto é positivo nos intervalos
e
, e negativo em
.
Observação alternativa (mais curta): como o coeficiente de
é positivo, a parábola abre para cima, logo o polinômio é positivo fora das raízes e negativo entre elas — mesmo resultado.
Passo 6
Concluímos que a desigualdade
é satisfeita exatamente quando