Resolva as desigualdades.
x^{2}+2 x>3

Passo 1

O enunciado pede: resolver a desigualdade x^{2}+2x>3.
Informações fornecidas:
  • A desigualdade é x^{2}+2x>3.
  • Queremos encontrar todos os valores de x (números reais) que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro passo técnico: passar tudo para o mesmo lado para comparar com zero. Subtraindo 3 dos dois lados obtemos a desigualdade equivalente
x^{2}+2x-3>0.
Explicação rápida: é mais fácil analisar uma expressão polinomial quando colocada comparada a zero, porque então podemos estudar o sinal do polinômio.

Passo 3

Agora fatoramos o polinômio x^{2}+2x-3. Para fatorar um quadrático x^{2}+bx+c procuramos dois números cuja soma é b e cujo produto é c. Aqui b=2 e c=-3. Dois números que satisfazem isso são 3 e -1, porque 3+(-1)=2 e 3\cdot(-1)=-3. Portanto
x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1).

Passo 4

As raízes (zeros) do polinômio são os valores de x que anulam cada fator:
x+3=0 \Rightarrow x=-3,\qquad x-1=0 \Rightarrow x=1.
Como a desigualdade é estrita ( >), os pontos x=-3 e x=1 não pertencem à solução; eles são pontos onde a expressão vale zero.

Passo 5

Agora fazemos a análise de sinal do produto (x+3)(x-1). Um produto de dois fatores muda de sinal apenas nos zeros -3 e 1. Assim a reta real fica dividida em três intervalos: (-\infty,-3), (-3,1) e (1,\infty). Para saber em quais intervalos o produto é positivo, podemos testar um ponto em cada intervalo:
  • Para x=-4 (no intervalo (-\infty,-3)): (x+3)(x-1)=(-4+3)(-4-1)=(-1)(-5)=5>0.
  • Para x=0 (no intervalo (-3,1)): (x+3)(x-1)=(0+3)(0-1)=3\cdot(-1)=-3<0.
  • Para x=2 (no intervalo (1,\infty)): (x+3)(x-1)=(2+3)(2-1)=5\cdot1=5>0.
Portanto o produto é positivo nos intervalos (-\infty,-3) e (1,\infty), e negativo em (-3,1).
Observação alternativa (mais curta): como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola abre para cima, logo o polinômio é positivo fora das raízes e negativo entre elas — mesmo resultado.

Passo 6

Concluímos que a desigualdade x^{2}+2x-3>0 é satisfeita exatamente quando
x\in(-\infty,-3)\cup(1,\infty).

Resposta

(-\infty,-3)\cup(1,\infty)

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