Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede: resolver a desigualdade
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A incógnita é
. - Temos uma desigualdade envolvendo um polinômio quadrático em
.
O objetivo é encontrar todos os valores deque tornam verdadeira essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar tudo num só lado para comparar com zero. Subtraio
dos dois lados:
Para trabalhar com coeficiente líder positivo (mais confortável), multiplico a desigualdade por
. Lembre-se: ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte. Assim:
Passo 3
Agora encontro as raízes do polinômio
resolvendo a equação
. Uso a fórmula quadrática ou calculo o discriminante:
Como
, as raízes são
Calculando:
Passo 4
Com as raízes encontradas, fatoro o polinômio:
(Verificação rápida:
.)
Passo 5
Temos a desigualdade fatorada:
Uma desigualdade produto
é satisfeita quando os fatores têm sinais opostos ou quando um dos fatores é zero; isto acontece entre as raízes (incluindo-as, porque é
). As raízes são
e
, portanto a solução é o intervalo entre elas:
ou seja
.
Passo 6
Checagem rápida nos extremos para confirmar inclusão:
- Para
: , logo a desigualdade original fica (verdadeiro). - Para
: , novamente igualdade, então os extremos estão incluídos.