Resolva as desigualdades.
4 \leq(x-6)^{2} \leq 9

Passo 1

O enunciado nos dá a desigualdade composta
4 \leq (x-6)^{2} \leq 9
e pede todos os valores de x que satisfazem essa condição. Informações relevantes do enunciado:
  • O termo central é (x-6)^{2}.
  • Os limites inferior e superior são 4 e 9, respectivamente.
  • A desigualdade é inclusiva (sinais \leq), então os pontos onde (x-6)^{2} vale exatamente 4 ou 9 também devem ser considerados.

Passo 2

Uma observação importante e útil: para qualquer número real y vale |y|=\sqrt{y^{2}}. Como 4 e 9 são não negativos, podemos aplicar a raiz quadrada nos três termos mantendo as desigualdades. Assim:
4 \leq (x-6)^{2} \leq 9 \quad\Longrightarrow\quad 2 \leq \sqrt{(x-6)^{2}} \leq 3.
E pelo que foi dito, \sqrt{(x-6)^{2}} = |x-6|. Portanto obtemos a desigualdade equivalente
2 \leq |x-6| \leq 3.

Passo 3

Agora vamos interpretar a desigualdade com valor absoluto. A desigualdade composta 2 \leq |x-6| \leq 3 significa simultaneamente:
  • |x-6| \geq 2, e
  • |x-6| \leq 3.
Vou resolver cada uma separadamente e depois tomar a interseção dos resultados.

Passo 4

Resolver |x-6| \leq 3. Por definição de valor absoluto:
|x-6| \leq 3 \Longleftrightarrow -3 \leq x-6 \leq 3.
Somando 6 aos três termos:
-3+6 \leq x \leq 3+6 \quad\Longrightarrow\quad 3 \leq x \leq 9.
Portanto o conjunto de soluções dessa parte é o intervalo [3,9].

Passo 5

Resolver |x-6| \geq 2. Por definição:
|x-6| \geq 2 \Longleftrightarrow x-6 \leq -2 \quad\text{ou}\quad x-6 \geq 2.
Somando 6 às desigualdades:
x \leq 4 \quad\text{ou}\quad x \geq 8.
Ou seja, o conjunto de soluções dessa parte é (-\infty,4] \cup [8,\infty).

Passo 6

Agora precisamos da interseção entre as duas condições (porque ambas devem valer ao mesmo tempo):
[3,9] \cap \bigl((-\infty,4] \cup [8,\infty)\bigr).
Interseção com a primeira parte (-\infty,4]
[3,9] \cap (-\infty,4] = [3,4].
Interseção com a segunda parte [8,\infty)
[3,9] \cap [8,\infty) = [8,9].
Unindo as duas peças obtemos
[3,4] \cup [8,9].

Passo 7

Fazer checagem rápida em pontos extremos e em um ponto interior para ter confiança:
  • Para x=3: (3-6)^{2}=9 (ok).
  • Para x=4: (4-6)^{2}=4 (ok).
  • Para x=8: (8-6)^{2}=4 (ok).
  • Para x=9: (9-6)^{2}=9 (ok).
  • Para x=3{,}5: (3{,}5-6)^{2}=2{,}5^{2}=6{,}25 (entre 4 e 9, ok).

Resposta

[3,4]\cup[8,9]

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