Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado nos dá a desigualdade composta
e pede todos os valores de
que satisfazem essa condição. Informações relevantes do enunciado:
- O termo central é
. - Os limites inferior e superior são
e , respectivamente. - A desigualdade é inclusiva (sinais
), então os pontos onde vale exatamente ou também devem ser considerados.
Passo 2
Uma observação importante e útil: para qualquer número real
vale
. Como
e
são não negativos, podemos aplicar a raiz quadrada nos três termos mantendo as desigualdades. Assim:
E pelo que foi dito,
. Portanto obtemos a desigualdade equivalente
Passo 3
Agora vamos interpretar a desigualdade com valor absoluto. A desigualdade composta
significa simultaneamente:
-
, e -
.
Vou resolver cada uma separadamente e depois tomar a interseção dos resultados.
Passo 4
Resolver
. Por definição de valor absoluto:
Somando
aos três termos:
Portanto o conjunto de soluções dessa parte é o intervalo
.
Passo 5
Resolver
. Por definição:
Somando
às desigualdades:
Ou seja, o conjunto de soluções dessa parte é
.
Passo 6
Agora precisamos da interseção entre as duas condições (porque ambas devem valer ao mesmo tempo):
Interseção com a primeira parte
dá
Interseção com a segunda parte
dá
Unindo as duas peças obtemos
Passo 7
Fazer checagem rápida em pontos extremos e em um ponto interior para ter confiança:
- Para
: (ok). - Para
: (ok). - Para
: (ok). - Para
: (ok). - Para
: (entre e , ok).