Resolva as desigualdades.
-2 \leq 2 x^{2}+3 x+4 \leq 3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem a desigualdade composta
-2 \leq 2 x^{2}+3 x+4 \leq 3.
Informações dadas:
  • A expressão envolvida é o polinômio quadrático 2x^{2}+3x+4.
  • Precisa-se determinar o conjunto de x\in\mathbb{R} que tornam verdadeiro o duplo limite acima.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): uma desigualdade composta como -2 \leq A \leq 3 é equivalente a resolver simultaneamente as duas desigualdades
-2 \leq A \qquad\text{e}\qquad A \leq 3,
onde A é aqui A=2x^{2}+3x+4. Vou resolver cada uma separadamente e depois tomar a interseção das soluções. Essa é a forma padrão para tratar desigualdades compostas.

Passo 3

Resolver a primeira desigualdade -2 \leq 2x^{2}+3x+4.
Reescrevendo:
-2 \leq 2x^{2}+3x+4 \quad\Longleftrightarrow\quad 0 \leq 2x^{2}+3x+6,
ou seja
2x^{2}+3x+6 \geq 0.
Para analisar o sinal de um polinômio quadrático ax^{2}+bx+c com a\neq 0 é útil calcular o discriminante \Delta = b^{2}-4ac. Aqui:
\Delta = 3^{2}-4\cdot 2\cdot 6 = 9-48 = -39.
Como \Delta<0 e o coeficiente quadrático a=2 é positivo, o gráfico da parábola está sempre acima do eixo x: o polinômio é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}. Portanto
2x^{2}+3x+6>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
e assim a desigualdade 2x^{2}+3x+6\geq 0 é satisfeita por todos os reais. Conclusão da primeira parte: não há restrição adicional — todos os x satisfazem a primeira desigualdade.
(Explicação curta do porquê: se \Delta<0 e a>0 então o quadrático não tem raízes reais e nunca corta o eixo x; fica inteiramente acima, logo é sempre positivo.)

Passo 4

Resolver a segunda desigualdade 2x^{2}+3x+4 \leq 3.
Reescrevendo:
2x^{2}+3x+4 \leq 3 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x^{2}+3x+1 \leq 0.
Agora estudamos o sinal do quadrático 2x^{2}+3x+1. Primeiro encontramos as raízes da equação 2x^{2}+3x+1=0 usando a fórmula quadrática:
\Delta = 3^{2}-4\cdot 2\cdot 1 = 9-8 = 1.
Como \Delta=1\ge 0, há duas raízes reais:
x = \frac{-3\pm\sqrt{1}}{2\cdot 2} = \frac{-3\pm 1}{4}.
Isso dá as raízes
x_{1} = \frac{-3-1}{4} = -1 \qquad\text{e}\qquad x_{2} = \frac{-3+1}{4} = -\tfrac{1}{2}.
Porque o coeficiente quadrático é a=2>0, a parábola abre para cima. Logo o polinômio 2x^{2}+3x+1 é negativo ou zero entre as raízes e positivo fora delas. Portanto a solução da desigualdade
2x^{2}+3x+1 \leq 0
é o intervalo fechado entre as raízes:
-1 \leq x \leq -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Interseção das soluções das duas partes: a primeira desigualdade foi satisfeita por todo x\in\mathbb{R}, a segunda restringe a
-1 \leq x \leq -\tfrac{1}{2}.
A interseção é, portanto, o próprio intervalo obtido na segunda parte.

Resposta

-1 \leq x \leq -\tfrac{1}{2}

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