Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os valores de
que satisfazem a desigualdade composta
Informações dadas:
- A expressão envolvida é o polinômio quadrático
. - Precisa-se determinar o conjunto de
que tornam verdadeiro o duplo limite acima.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): uma desigualdade composta como
é equivalente a resolver simultaneamente as duas desigualdades
onde
é aqui
. Vou resolver cada uma separadamente e depois tomar a interseção das soluções. Essa é a forma padrão para tratar desigualdades compostas.
Passo 3
Resolver a primeira desigualdade
.
Reescrevendo:
ou seja
Para analisar o sinal de um polinômio quadrático
com
é útil calcular o discriminante
. Aqui:
Como
e o coeficiente quadrático
é positivo, o gráfico da parábola está sempre acima do eixo
: o polinômio é sempre positivo para todo
. Portanto
e assim a desigualdade
é satisfeita por todos os reais. Conclusão da primeira parte: não há restrição adicional — todos os
satisfazem a primeira desigualdade.
(Explicação curta do porquê: se
e
então o quadrático não tem raízes reais e nunca corta o eixo
; fica inteiramente acima, logo é sempre positivo.)
Passo 4
Resolver a segunda desigualdade
.
Reescrevendo:
Agora estudamos o sinal do quadrático
. Primeiro encontramos as raízes da equação
usando a fórmula quadrática:
Como
, há duas raízes reais:
Isso dá as raízes
Porque o coeficiente quadrático é
, a parábola abre para cima. Logo o polinômio
é negativo ou zero entre as raízes e positivo fora delas. Portanto a solução da desigualdade
é o intervalo fechado entre as raízes:
Passo 5
Interseção das soluções das duas partes: a primeira desigualdade foi satisfeita por todo
, a segunda restringe a
A interseção é, portanto, o próprio intervalo obtido na segunda parte.