Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
Informações dadas:
- A expressão é um polinômio quadrático em
. - A desigualdade é do tipo “
”, ou seja, aceita valores onde a expressão é negativa ou igual a zero.
O que se pede: encontrar todos os valores deque satisfazem .
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar a expressão, porque produtos são fáceis de analisar em termos de sinal.
Aqui expliquei cada coisa: a expressão original foi escrita como produto de dois fatores, o fator
e o fator
.
Passo 3
Interpretando a desigualdade em termos do produto de fatores:
Significado: o produto de dois números é menor ou igual a zero quando eles têm sinais opostos (produto negativo) ou quando pelo menos um dos fatores é zero (produto igual a zero). Portanto precisamos achar onde
é negativo ou zero.
Passo 4
Identificar os pontos onde o produto é zero (raíz do produto):
Esses são os pontos críticos que dividem a reta real em três intervalos:
,
e
.
Passo 5
Analisar o sinal em cada intervalo escolhendo um valor-teste (isto é muito prático na prova):
-
Para
, escolha . Então positivo. -
Para
, escolha . Então negativo. -
Para
, escolha . Então positivo.
Portanto o produto é negativo apenas no intervalo
, e é zero nos pontos
e
.
Passo 6
Como a desigualdade é “
” (inclui zero), aceitamos onde o produto é negativo ou zero. Logo a solução é o intervalo que inclui
e
e todos os pontos entre eles:
Passo 7
Verificação alternativa (útil como técnica): completar o quadrado para ver outra abordagem.
A desigualdade vira
Isso é equivalente a
que leva a
ou seja, novamente
. Essa verificação confirma o resultado anterior.