Resolva as desigualdades.
x^{2}-8 \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade \,x^{2}-8 \leq 0\,.
Informações dadas:
  • A expressão é \,x^{2}-8\,.
  • A incógnita é x, que pertence aos números reais.
    O que se quer: determinar todos os valores reais de x que tornam verdadeira a desigualdade \,x^{2}-8 \leq 0\,.

Passo 2

Encontrar os pontos em que a expressão muda de sinal: resolvemos a equação associada \,x^{2}-8=0\,.
Passo a passo:
x^{2}-8=0 \;\Longrightarrow\; x^{2}=8.
Aplicando a raiz quadrada (lembrando que raiz quadrada de um número positivo tem duas soluções, positiva e negativa):
x=\pm\sqrt{8}.
Simplificando \sqrt{8}: \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}. Portanto as raízes são
x=\pm 2\sqrt{2}.

Passo 3

Fatorizar a expressão para ver o comportamento do sinal:
x^{2}-8=(x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2}).
Isso mostra que os zeros da expressão são exatamente x=-2\sqrt{2} e x=2\sqrt{2}.

Passo 4

Analisar o sinal da quadrática. Explicando a ideia: uma função quadrática ax^{2}+bx+c com a>0 (aqui a=1>0) tem a forma de parábola “abrindo para cima”. Isso implica que a expressão é:
  • positiva fora das raízes (para x menores que a menor raiz e para x maiores que a maior raiz),
  • negativa entre as raízes.
    Podemos checar com exemplos simples:
  • Tomando x=0 (que está entre as raízes): 0^{2}-8=-8<0, logo a desigualdade é satisfeita.
  • Tomando x=3 (maior que 2\sqrt{2}, pois 2\sqrt{2}\approx 2{,}828): 3^{2}-8=9-8=1>0, não satisfaz.
    Portanto a expressão \,x^{2}-8\, é \le 0 exatamente para os x que ficam entre as duas raízes.

Passo 5

Verificar inclusão dos extremos: em x=2\sqrt{2} e x=-2\sqrt{2} temos \,x^{2}-8=0\,, e como a desigualdade é com \le (menor ou igual), esses extremos devem ser incluídos na solução.

Resposta

\,[-2\sqrt{2},\,2\sqrt{2}]\,

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