Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão é
. - A incógnita é
, que pertence aos números reais.
O que se quer: determinar todos os valores reais deque tornam verdadeira a desigualdade .
Passo 2
Encontrar os pontos em que a expressão muda de sinal: resolvemos a equação associada
.
Passo a passo:
Passo a passo:
Aplicando a raiz quadrada (lembrando que raiz quadrada de um número positivo tem duas soluções, positiva e negativa):
Simplificando
:
. Portanto as raízes são
Passo 3
Fatorizar a expressão para ver o comportamento do sinal:
Isso mostra que os zeros da expressão são exatamente
e
.
Passo 4
Analisar o sinal da quadrática. Explicando a ideia: uma função quadrática
com
(aqui
) tem a forma de parábola “abrindo para cima”. Isso implica que a expressão é:
- positiva fora das raízes (para
menores que a menor raiz e para maiores que a maior raiz), - negativa entre as raízes.
Podemos checar com exemplos simples: - Tomando
(que está entre as raízes): , logo a desigualdade é satisfeita. - Tomando
(maior que , pois ): , não satisfaz.
Portanto a expressãoé exatamente para os que ficam entre as duas raízes.
Passo 5
Verificar inclusão dos extremos: em
e
temos
, e como a desigualdade é com
(menor ou igual), esses extremos devem ser incluídos na solução.