Resolva as desigualdades.
x^{2}+6 x \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
x^{2}+6x \leq 0.
Informações dadas:
  • A expressão é um polinômio quadrático em x.
  • A desigualdade é do tipo “ \leq”, ou seja, aceita valores onde a expressão é negativa ou igual a zero.
    O que se pede: encontrar todos os valores de x que satisfazem \;x^{2}+6x \leq 0.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar a expressão, porque produtos são fáceis de analisar em termos de sinal.
x^{2}+6x = x(x+6).
Aqui expliquei cada coisa: a expressão original foi escrita como produto de dois fatores, o fator x e o fator (x+6).

Passo 3

Interpretando a desigualdade em termos do produto de fatores:
x(x+6) \leq 0
Significado: o produto de dois números é menor ou igual a zero quando eles têm sinais opostos (produto negativo) ou quando pelo menos um dos fatores é zero (produto igual a zero). Portanto precisamos achar onde x(x+6) é negativo ou zero.

Passo 4

Identificar os pontos onde o produto é zero (raíz do produto):
x=0 \quad\text{ou}\quad x=-6.
Esses são os pontos críticos que dividem a reta real em três intervalos: (-\infty,-6), (-6,0) e (0,\infty).

Passo 5

Analisar o sinal em cada intervalo escolhendo um valor-teste (isto é muito prático na prova):
  • Para x\in(-\infty,-6), escolha x=-7. Então
    x(x+6)=(-7)\cdot(-1)=7>0,
    positivo.
  • Para x\in(-6,0), escolha x=-3. Então
    x(x+6)=(-3)\cdot 3=-9<0,
    negativo.
  • Para x\in(0,\infty), escolha x=1. Então
    x(x+6)=1\cdot7=7>0,
    positivo.
Portanto o produto é negativo apenas no intervalo (-6,0), e é zero nos pontos x=-6 e x=0.

Passo 6

Como a desigualdade é “ \leq 0” (inclui zero), aceitamos onde o produto é negativo ou zero. Logo a solução é o intervalo que inclui -6 e 0 e todos os pontos entre eles:
[-6,\,0].

Passo 7

Verificação alternativa (útil como técnica): completar o quadrado para ver outra abordagem.
x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9.
A desigualdade vira
(x+3)^{2}-9 \leq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x+3)^{2} \leq 9.
Isso é equivalente a
|x+3| \leq 3 \quad\Longleftrightarrow\quad -3 \leq x+3 \leq 3,
que leva a
-6 \leq x \leq 0,
ou seja, novamente [-6,0]. Essa verificação confirma o resultado anterior.

Resposta

[-6,0]

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