Os coeficientes são a=-2, b=8 e c=24.
O que se pede: encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Escolha do método (explicação curta do plano): uma forma prática é primeiro transformar a desigualdade em uma com coeficiente principal positivo (facilita a interpretação), depois resolver a equação associada (achar as raízes) e, por fim, analisar o sinal do produto fatorado em cada intervalo determinado pelas raízes. Isso funciona porque um polinômio quadrático só muda de sinal nas suas raízes reais; entre as raízes o sinal é constante.
Passo 3
Manipulação algébrica inicial para simplificar a desigualdade. Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade) obtemos
2x^{2}-8x-24 \geq 0.
Agora dividimos ambos os lados por 2 (divisão por positivo não altera a desigualdade):
x^{2}-4x-12 \geq 0.
Passo 4
Achar as raízes da equação associada x^{2}-4x-12=0. Vou usar a fórmula quadrática. Para uma equação ax^{2}+bx+c=0, as raízes são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes da equação. Aqui a=1, b=-4 (ou, pensando em x^{2}-4x-12, b=-4 e c=-12). Calculamos o discriminante:
Análise de sinal do produto (x+2)(x-6) para decidir onde ele é não negativo. As raízes -2 e 6 dividem a reta real em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,6) e (6,\infty). Avaliando um ponto em cada intervalo para ver o sinal:
Além disso, nos pontos x=-2 e x=6 o produto vale zero. A desigualdade que queremos satisfazer é x^{2}-4x-12 \geq 0, isto é, (x+2)(x-6)\geq 0. Pelas verificações de sinal acima, isso acontece nos intervalos onde o produto é positivo ou zero, ou seja, nos intervalos externos às raízes (incluindo as raízes).