Resolva as desigualdades.
-2 x^{2}+8 x+24 \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
-2x^{2}+8x+24 \leq 0.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é um polinômio quadrático em x.
  • Os coeficientes são a=-2, b=8 e c=24.
    O que se pede: encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta do plano): uma forma prática é primeiro transformar a desigualdade em uma com coeficiente principal positivo (facilita a interpretação), depois resolver a equação associada (achar as raízes) e, por fim, analisar o sinal do produto fatorado em cada intervalo determinado pelas raízes. Isso funciona porque um polinômio quadrático só muda de sinal nas suas raízes reais; entre as raízes o sinal é constante.

Passo 3

Manipulação algébrica inicial para simplificar a desigualdade. Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade) obtemos
2x^{2}-8x-24 \geq 0.
Agora dividimos ambos os lados por 2 (divisão por positivo não altera a desigualdade):
x^{2}-4x-12 \geq 0.

Passo 4

Achar as raízes da equação associada x^{2}-4x-12=0. Vou usar a fórmula quadrática. Para uma equação ax^{2}+bx+c=0, as raízes são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes da equação. Aqui a=1, b=-4 (ou, pensando em x^{2}-4x-12, b=-4 e c=-12). Calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot(-12)=16+48=64.
Como \Delta=64>0, há duas raízes reais. Aplicando a fórmula:
x=\frac{4\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{4\pm 8}{2}.
Assim as raízes são
x=\frac{4-8}{2}=-2 \qquad\text{e}\qquad x=\frac{4+8}{2}=6.

Passo 5

Fatoração usando as raízes encontradas. Sabendo as raízes -2 e 6, o polinômio pode ser escrito como
x^{2}-4x-12=(x+2)(x-6).
Podemos verificar expandindo: (x+2)(x-6)=x^{2}-6x+2x-12=x^{2}-4x-12, correto.

Passo 6

Análise de sinal do produto (x+2)(x-6) para decidir onde ele é não negativo. As raízes -2 e 6 dividem a reta real em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,6) e (6,\infty). Avaliando um ponto em cada intervalo para ver o sinal:
  • Para x=-3 (no intervalo (-\infty,-2)):
(x+2)(x-6)\big|_{x=-3}=(-3+2)(-3-6)=(-1)(-9)=9>0.
  • Para x=0 (no intervalo (-2,6)):
(x+2)(x-6)\big|_{x=0}=(0+2)(0-6)=2\cdot(-6)=-12<0.
  • Para x=7 (no intervalo (6,\infty)):
(x+2)(x-6)\big|_{x=7}=(7+2)(7-6)=9\cdot1=9>0.
Além disso, nos pontos x=-2 e x=6 o produto vale zero. A desigualdade que queremos satisfazer é x^{2}-4x-12 \geq 0, isto é, (x+2)(x-6)\geq 0. Pelas verificações de sinal acima, isso acontece nos intervalos onde o produto é positivo ou zero, ou seja, nos intervalos externos às raízes (incluindo as raízes).

Resposta

x\leq -2 ou x\geq 6

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