Resolva as desigualdades.
Passo 1
O problema dá a desigualdade
e pede para encontrar todos os valores reais de
que satisfazem essa desigualdade. Todas as variáveis são reais, ou seja, procurar a solução no conjunto
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: passar tudo para um dos lados para trabalhar com uma única expressão. Subtraio
dos dois lados:
Agora temos uma desigualdade envolvendo um polinômio quadrático. O objetivo é achar onde esse polinômio é menor ou igual a zero.
Passo 3
Para analisar onde um polinômio quadrático
muda de sinal, é preciso encontrar suas raízes (os pontos onde vale zero). Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Lembrete rápido: para
as raízes são
onde
é o discriminante. O discriminante indica se há raízes reais (
) e qual a distância entre elas.
Passo 4
No nosso caso
,
,
. Calculo o discriminante:
Como
, há duas raízes reais e distintas. Agora aplico a fórmula:
Isso dá as raízes
Passo 5
Posso reescrever o polinômio em fatores usando as raízes (verificação útil na prova):
Isso é fácil de conferir expandindo; o fator
(que é positivo) não altera o sinal além de um fator multiplicativo positivo.
Passo 6
Análise do sinal do produto. Como o coeficiente líder
, a parábola abre para cima. Isso significa que o polinômio é:
- positivo fora do intervalo entre as raízes,
- zero nas raízes,
- negativo entre as raízes.
Outra maneira: o produtoé ≤0 quando os dois fatores têm sinais opostos ou quando um deles é zero, isto é, quando está entre e (incluindo as extremidades).
Podemos checar rapidamente com pontos teste:
- Para
(que está entre e ), — ok. - Para
(fora, maior que ), — ok.
Passo 7
Conclui-se que a solução da desigualdade
, é o intervalo dos
entre as raízes, incluindo-as: