Resolva as desigualdades.
3 x^{2} \leq 2 x+5

Passo 1

O problema dá a desigualdade
3x^{2}\leq 2x+5
e pede para encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa desigualdade. Todas as variáveis são reais, ou seja, procurar a solução no conjunto \mathbb{R}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: passar tudo para um dos lados para trabalhar com uma única expressão. Subtraio 2x+5 dos dois lados:
3x^{2}-2x-5\leq 0.
Agora temos uma desigualdade envolvendo um polinômio quadrático. O objetivo é achar onde esse polinômio é menor ou igual a zero.

Passo 3

Para analisar onde um polinômio quadrático ax^{2}+bx+c muda de sinal, é preciso encontrar suas raízes (os pontos onde vale zero). Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Lembrete rápido: para
ax^{2}+bx+c=0
as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta=b^{2}-4ac,
onde \Delta é o discriminante. O discriminante indica se há raízes reais ( \Delta\ge 0) e qual a distância entre elas.

Passo 4

No nosso caso a=3, b=-2, c=-5. Calculo o discriminante:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot 3\cdot(-5)=4+60=64.
Como \Delta=64>0, há duas raízes reais e distintas. Agora aplico a fórmula:
x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{64}}{2\cdot 3}=\frac{2\pm 8}{6}.
Isso dá as raízes
x_{1}=\frac{2-8}{6}=-1, \qquad x_{2}=\frac{2+8}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}.

Passo 5

Posso reescrever o polinômio em fatores usando as raízes (verificação útil na prova):
3x^{2}-2x-5 = 3(x - x_{1})(x - x_{2}) = 3(x+1)\Bigl(x-\tfrac{5}{3}\Bigr).
Isso é fácil de conferir expandindo; o fator 3 (que é positivo) não altera o sinal além de um fator multiplicativo positivo.

Passo 6

Análise do sinal do produto. Como o coeficiente líder a=3>0, a parábola abre para cima. Isso significa que o polinômio é:
  • positivo fora do intervalo entre as raízes,
  • zero nas raízes,
  • negativo entre as raízes.
    Outra maneira: o produto (x+1)\bigl(x-\tfrac{5}{3}\bigr) é ≤0 quando os dois fatores têm sinais opostos ou quando um deles é zero, isto é, quando x está entre -1 e \tfrac{5}{3} (incluindo as extremidades).
Podemos checar rapidamente com pontos teste:
  • Para x=0 (que está entre -1 e \tfrac{5}{3}), 3x^{2}-2x-5= -5\le 0 — ok.
  • Para x=2 (fora, maior que \tfrac{5}{3}), 3\cdot4-4-5=12-9=3>0 — ok.

Passo 7

Conclui-se que a solução da desigualdade \,3x^{2}\le 2x+5, é o intervalo dos x entre as raízes, incluindo-as:
-1 \le x \le \tfrac{5}{3}.

Resposta

\displaystyle [-1,\tfrac{5}{3}]

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