Resolva as desigualdades.
2 x^{2}-5 x \geq 3

Passo 1

O enunciado pede: resolver a desigualdade \,2x^{2}-5x\geq 3\,.
Informações dadas:
  • A expressão que aparece na desigualdade é \,2x^{2}-5x e o lado direito é \,3.
  • A incógnita é x e queremos todos os valores reais de x que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar tudo num só lado para termos uma função quadrática comparada com zero. Subtraio 3 dos dois lados:
2x^{2}-5x-3\geq 0.
Agora queremos encontrar os x tais que o polinômio \,P(x)=2x^{2}-5x-3\, seja maior ou igual a zero.

Passo 3

Para estudar o sinal de uma parábola/quadrática é útil conhecer suas raízes (zeros). Vou usar a fórmula quadrática para achar as raízes de \,P(x)=0. A fórmula é
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes da quadrática ax^{2}+bx+c, e \Delta (discriminante) é \Delta=b^{2}-4ac. Aqui:
a=2,\qquad b=-5,\qquad c=-3.
Calculo o discriminante:
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49.
Como \Delta=49 é um quadrado perfeito, as raízes serão racionais.

Passo 4

Agora aplico a fórmula para obter as raízes:
x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{5\pm7}{4}.
Calculando as duas possibilidades:
x_1=\frac{5-7}{4}=\frac{-2}{4}=-\tfrac{1}{2}, \qquad x_2=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3.

Passo 5

Com as raízes achadas, fatoro o polinômio. Uma forma prática é usar as raízes para escrever fatores lineares; como x_1=-\tfrac{1}{2} e x_2=3, uma fatoração conveniente é
2x^{2}-5x-3=(2x+1)(x-3).
(Verificação rápida: (2x+1)(x-3)=2x^{2}-6x+x-3=2x^{2}-5x-3.)

Passo 6

Agora analiso o sinal de (2x+1)(x-3). Regras importantes e simples:
  • O coeficiente líder a=2 é positivo, então a parábola abre para cima. Isso significa que a expressão será positiva para x muito à esquerda e muito à direita, e será negativa entre as raízes (se as raízes forem distintas).
  • As raízes -\tfrac{1}{2} e 3 são pontos onde a expressão vale zero, e como a desigualdade é \geq 0 essas raízes entram na solução.
Posso também checar sinal em cada intervalo:
  • Para x<- \tfrac{1}{2} (por exemplo x=-1): P(-1)=2-(-5)-3=4>0.
  • Para -\tfrac{1}{2}<x<3 (por exemplo x=0): P(0)=-3<0.
  • Para x>3 (por exemplo x=4): P(4)=32-20-3=9>0.
Portanto P(x)\geq0 quando x\leq -\tfrac{1}{2} ou x\geq 3.

Resposta

(-\infty,-\tfrac{1}{2}]\cup[3,\infty)

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