Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
Informações dadas:
- A incógnita é
. - Temos uma desigualdade envolvendo um polinômio quadrático.
- O objetivo é encontrar todos os valores de
que satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Primeiro vamos passar para uma forma mais conveniente: é comum trabalhar com um quadrático cujo coeficiente de
seja positivo. Multiplicamos ambos os lados por
. Lembre que ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo o sentido da desigualdade se inverte. Assim:
multiplicando por
resulta em
Agora temos a desigualdade padrão
.
Passo 3
Para resolver uma desigualdade quadrática é útil saber onde o polinômio se anula (as raízes). Vamos determinar as raízes da equação
Usamos a fórmula do discriminante
(que vem da fórmula quadrática). Se o polinômio é
, então
onde
,
e
. Calculando:
Como
e
, as raízes são
Logo:
Passo 4
Podemos também ver que o polinômio fatoriza facilmente usando as raízes encontradas:
Isso confirma os zeros em
e
.
Passo 5
Agora precisamos decidir em quais intervalos o produto
é menor ou igual a zero. Como o coeficiente
, a parábola abre para cima e a forma típica é:
- Para
: os dois fatores têm sinais iguais? Teste : . - Para
: testar : . - Para
: testar : .
Portanto
ocorre exatamente quando
está entre as raízes, incluindo-as (porque a desigualdade é
). Assim:
Passo 6
Voltando à desigualdade original: como transformamos
em
por multiplicação por
, a solução da original é a mesma que encontramos acima. Para checar rapidamente, podemos testar
na expressão original:
funciona; já
dá
falso, então fora do intervalo.