Resolva as desigualdades.
-x^{2}+20 x-36 \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
-x^{2}+20x-36 \geq 0.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • Temos uma desigualdade envolvendo um polinômio quadrático.
  • O objetivo é encontrar todos os valores de x que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Primeiro vamos passar para uma forma mais conveniente: é comum trabalhar com um quadrático cujo coeficiente de x^{2} seja positivo. Multiplicamos ambos os lados por -1. Lembre que ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo o sentido da desigualdade se inverte. Assim:
-x^{2}+20x-36 \geq 0
multiplicando por -1 resulta em
x^{2}-20x+36 \leq 0.
Agora temos a desigualdade padrão \,x^{2}-20x+36 \leq 0\,.

Passo 3

Para resolver uma desigualdade quadrática é útil saber onde o polinômio se anula (as raízes). Vamos determinar as raízes da equação
x^{2}-20x+36=0.
Usamos a fórmula do discriminante \Delta (que vem da fórmula quadrática). Se o polinômio é ax^{2}+bx+c, então
\Delta=b^{2}-4ac,
onde a=1, b=-20 e c=36. Calculando:
\Delta = (-20)^{2}-4\cdot1\cdot36 = 400-144 = 256.
Como \Delta=256 e \sqrt{256}=16, as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{20\pm16}{2}.
Logo:
x_{1}=\frac{20-16}{2}= \frac{4}{2}=2, \qquad x_{2}=\frac{20+16}{2}=\frac{36}{2}=18.

Passo 4

Podemos também ver que o polinômio fatoriza facilmente usando as raízes encontradas:
x^{2}-20x+36=(x-2)(x-18).
Isso confirma os zeros em x=2 e x=18.

Passo 5

Agora precisamos decidir em quais intervalos o produto (x-2)(x-18) é menor ou igual a zero. Como o coeficiente a=1>0, a parábola abre para cima e a forma típica é:
  • Para x<2: os dois fatores têm sinais iguais? Teste x=0: (0-2)(0-18)=(-2)(-18)=36>0.
  • Para 2<x<18: testar x=10: (10-2)(10-18)=(8)(-8)=-64<0.
  • Para x>18: testar x=20: (20-2)(20-18)=(18)(2)=36>0.
Portanto x^{2}-20x+36\leq0 ocorre exatamente quando x está entre as raízes, incluindo-as (porque a desigualdade é \leq). Assim:
2 \leq x \leq 18.

Passo 6

Voltando à desigualdade original: como transformamos -x^{2}+20x-36 \geq 0 em x^{2}-20x+36 \leq 0 por multiplicação por -1, a solução da original é a mesma que encontramos acima. Para checar rapidamente, podemos testar x=10 na expressão original:
-10^{2}+20\cdot10-36 = -100+200-36 =64\geq0,
funciona; já x=0 -36\geq0 falso, então fora do intervalo.

Resposta

2 \leq x \leq 18

Exercícios relacionados