Resolva as desigualdades.
(x-6)^{2} \geq 4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
(x-6)^{2} \geq 4.
Informações dadas:
  • A incógnita é x e deve-se encontrar todos os números reais x que satisfazem a desigualdade.
  • A expressão é um quadrado perfeito (x-6)^{2} comparado ao número 4.
  • A desigualdade é do tipo “maior ou igual” ( \geq), então soluções que tornam a expressão igual a 4 também valem.

Passo 2

Entendendo a ideia: quando temos uma expressão ao quadrado comparada a um número positivo, é útil usar a relação com valor absoluto. Para qualquer número real u e qualquer a\ge 0 vale:
u^{2}\ge a^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad |u|\ge a.
Aqui podemos tomar u=x-6 e a=2 porque 4=2^{2}. Portanto a desigualdade é equivalente a
|x-6|\ge 2.
Explicando o que é |x-6|: é a distância do número x ao número 6 na reta real. A condição |x-6|\ge 2 significa que x está a uma distância maior ou igual a 2 de 6.

Passo 3

Resolver a desigualdade em valor absoluto: para a>0 vale
|u|\ge a \quad\Longleftrightarrow\quad u\ge a \\ \text{ou}\\ u\le -a.
Aplicando com u=x-6 e a=2 obtemos duas possibilidades:
x-6\ge 2 \quad\text{ou}\quad x-6\le -2.

Passo 4

Resolver cada uma das desigualdades lineares:
  1. Se x-6\ge 2, então
x\ge 8.
  1. Se x-6\le -2, então
x\le 4.

Passo 5

Juntando as duas possibilidades, a solução é
x\le 4 \quad\text{ou}\quad x\ge 8.
Em termos de intervalo isso é
(-\infty,4]\cup[8,\infty).

Passo 6

Verificação rápida com exemplos (para ganhar confiança):
  • Tomando x=3: (3-6)^{2}=9 e 9\ge 4 é verdadeiro.
  • Tomando x=6: (6-6)^{2}=0 e 0\ge 4 é falso — portanto x=6 não está na solução.
  • Tomando x=9: (9-6)^{2}=9 e 9\ge 4 é verdadeiro.

Passo 7

Método alternativo (fatoração), só para fixar: expandindo e trazendo tudo para um lado,
(x-6)^{2}-4 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-6-2)(x-6+2)\ge 0,
ou seja
(x-8)(x-4)\ge 0.
As raízes são x=4 e x=8. Como o polinômio tem coeficiente líder positivo, ele é não negativo para x\le4 ou x\ge8, que coincide com o resultado anterior.

Resposta

\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 4\\ \text{ou}\\ x\ge 8\}
(-\infty,4]\cup[8,\infty)

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