Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
Informações dadas:
- A incógnita é
e deve-se encontrar todos os números reais que satisfazem a desigualdade. - A expressão é um quadrado perfeito
comparado ao número . - A desigualdade é do tipo “maior ou igual” (
), então soluções que tornam a expressão igual a também valem.
Passo 2
Entendendo a ideia: quando temos uma expressão ao quadrado comparada a um número positivo, é útil usar a relação com valor absoluto. Para qualquer número real
e qualquer
vale:
Aqui podemos tomar
e
porque
. Portanto a desigualdade é equivalente a
Explicando o que é
: é a distância do número
ao número
na reta real. A condição
significa que
está a uma distância maior ou igual a
de
.
Passo 3
Resolver a desigualdade em valor absoluto: para
vale
Aplicando com
e
obtemos duas possibilidades:
Passo 4
Resolver cada uma das desigualdades lineares:
- Se
, então
- Se
, então
Passo 5
Juntando as duas possibilidades, a solução é
Em termos de intervalo isso é
Passo 6
Verificação rápida com exemplos (para ganhar confiança):
- Tomando
: e é verdadeiro. - Tomando
: e é falso — portanto não está na solução. - Tomando
: e é verdadeiro.
Passo 7
Método alternativo (fatoração), só para fixar: expandindo e trazendo tudo para um lado,
ou seja
As raízes são
e
. Como o polinômio tem coeficiente líder positivo, ele é não negativo para
ou
, que coincide com o resultado anterior.