Resolva as desigualdades.
x^{2}+9 x+18 \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
x^{2}+9x+18 \leq 0.
Informações dadas que vamos usar:
  • É uma desigualdade envolvendo um polinômio quadrático em x.
  • Os coeficientes do polinômio são a=1, b=9, c=18.
    A tarefa é encontrar todos os valores de x que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro passo típico: fatorar o polinômio, se possível, porque fica muito mais fácil analisar o sinal. Procuro dois números p e q tais que
p+q=b=9 \quad\text{e}\quad p\cdot q=c=18.
Listei pares que multiplicam 18: 1\cdot18, 2\cdot9, 3\cdot6. O par cuja soma é 9 é 3 e 6. Portanto o polinômio fatora como
x^{2}+9x+18=(x+3)(x+6).
Posso checar rápido expandindo: (x+3)(x+6)=x^2+6x+3x+18=x^2+9x+18. Está correto.

Passo 3

Reescrevo a desigualdade usando a fatoração:
(x+3)(x+6) \leq 0.
As raízes (zeros) da expressão são os pontos que anulam cada fator:
x+3=0 \Rightarrow x=-3,\qquad x+6=0 \Rightarrow x=-6.
Esses dois valores dividem a reta real em três intervalos onde o sinal do produto é constante.

Passo 4

Agora é a parte conceitual: quando temos um produto de dois fatores (\text{fator}_1)(\text{fator}_2)\le 0, isso significa que o produto é negativo ou zero. Ou seja:
  • é zero exatamente quando x é uma das raízes ( x=-6 ou x=-3);
  • é negativo quando os fatores têm sinais opostos.
Uma maneira prática de ver isso é fazer um quadro de sinais ou testar um ponto em cada intervalo formado pelas raízes.

Passo 5

Faço o teste de sinal em cada intervalo:
  • Para x<-6, por exemplo x=-7: (x+6)=-1 e (x+3)=-4. Produto (-1)\cdot(-4)=+4>0. Então na região (-\infty,-6) a expressão é positiva.
  • Para -6<x<-3, por exemplo x=-5: (x+6)=1 e (x+3)=-2. Produto 1\cdot(-2)=-2<0. Então na região (-6,-3) a expressão é negativa.
  • Para x>-3, por exemplo x=0: (x+6)=6 e (x+3)=3. Produto 6\cdot3=18>0. Então na região (-3,\infty) é positiva.
Além disso, nos pontos x=-6 e x=-3 o produto vale 0.

Passo 6

A desigualdade pede \leq 0, isto é, queremos onde a expressão é negativa ou zero. Pelos testes:
  • é negativa em (-6,-3);
  • é zero em x=-6 e x=-3.
    Logo a solução é o intervalo fechado entre as raízes:
-6 \le x \le -3.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional): pelo discriminante da quadrática \Delta=b^{2}-4ac,
\Delta=9^{2}-4\cdot1\cdot18=81-72=9,
\sqrt{\Delta}=3. As raízes pela fórmula quadrática são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-9\pm3}{2},
que dão x=-6 e x=-3, confirmando a fatoração e a solução obtida.

Passo 8

Pronto — a ideia chave para esse tipo de exercício é: fatorar (ou achar as raízes), dividir a reta em intervalos pelos zeros e testar o sinal em cada intervalo. Dá para fazer bem rápido na prova com um pouco de prática. Força aí — você consegue!

Resposta

[-6,-3]

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