Resolva as desigualdades.
,
Passo 1
O enunciado dá dois números que vou chamar de raízes:
O pedido foi “Resolva as desigualdades” (no plural). Vou resolver as desigualdades padrão associadas a essas raízes para o produto
, ou seja:
-
; -
;
e também as versões com igualdade (frequente em provas): -
; -
.
Essas quatro cobrem as possibilidades que normalmente aparecem em exercícios com duas raízes.
Passo 2
Escrevendo o produto com os valores dados:
Se expandirmos para ver a forma do polinômio:
Calculemos cuidadosamente cada termo:
- O coeficiente de
é . - O termo constante é
.
Portanto
Passo 3
Entendendo o sinal do produto. A função quadrática
tem coeficiente líder
, então a parábola abre para cima. Isso implica:
-
para à esquerda da menor raiz e para à direita da maior raiz; -
para entre as duas raízes; - em
ou vale .
Ou seja, a posição das raízes ordenadas é
Passo 4
Montando a tabela de sinais (intuição prática):
- Para
(por exemplo ) cada fator e é negativo ou positivo? Se então e , produto positivo. - Para
um fator é positivo e o outro negativo, produto negativo. - Para
ambos são positivos, produto positivo.
Isso confirma a regra da parábola que disse antes.
Passo 5
Agora escrevo as soluções de cada desigualdade:
- Para
: os fora do intervalo fechado entre as raízes:
- Para
: os estritamente entre as raízes:
- Para
: inclui as raízes:
- Para
: inclui as raízes (intervalo fechado entre elas):