Resolva as desigualdades.
x_{1}=-2 \sqrt{2}, x_{2}=3 \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado dá dois números que vou chamar de raízes:
  • x_{1} = -2\sqrt{2}
  • x_{2} = 3\sqrt{2}
O pedido foi “Resolva as desigualdades” (no plural). Vou resolver as desigualdades padrão associadas a essas raízes para o produto (x-x_{1})(x-x_{2}), ou seja:
  • (x-x_{1})(x-x_{2})>0;
  • (x-x_{1})(x-x_{2})<0;
    e também as versões com igualdade (frequente em provas):
  • (x-x_{1})(x-x_{2})\ge 0;
  • (x-x_{1})(x-x_{2})\le 0.
Essas quatro cobrem as possibilidades que normalmente aparecem em exercícios com duas raízes.

Passo 2

Escrevendo o produto com os valores dados:
(x-x_{1})(x-x_{2})=(x+2\sqrt{2})(x-3\sqrt{2}).
Se expandirmos para ver a forma do polinômio:
(x+2\sqrt{2})(x-3\sqrt{2})=x^2-(3\sqrt{2}-2\sqrt{2})x-(2\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}).
Calculemos cuidadosamente cada termo:
  • O coeficiente de x é -3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=-\sqrt{2}.
  • O termo constante é -(2\sqrt{2})(3\sqrt{2})=-(6\cdot(\sqrt{2})^2)=-(6\cdot2)=-12.
Portanto
(x+2\sqrt{2})(x-3\sqrt{2})=x^2-\sqrt{2}\,x-12.

Passo 3

Entendendo o sinal do produto. A função quadrática f(x)=x^2-\sqrt{2}\,x-12 tem coeficiente líder 1>0, então a parábola abre para cima. Isso implica:
  • f(x)>0 para x à esquerda da menor raiz e para x à direita da maior raiz;
  • f(x)<0 para x entre as duas raízes;
  • em x=x_{1} ou x=x_{2} vale f(x)=0.
Ou seja, a posição das raízes ordenadas é
x_{1}=-2\sqrt{2}<x_{2}=3\sqrt{2}.

Passo 4

Montando a tabela de sinais (intuição prática):
  • Para x<x_{1} (por exemplo x=-10) cada fator (x-x_{1}) e (x-x_{2}) é negativo ou positivo? Se x<x_{1} então x-x_{1}<0 e x-x_{2}<0, produto positivo.
  • Para x_{1}<x<x_{2} um fator é positivo e o outro negativo, produto negativo.
  • Para x>x_{2} ambos são positivos, produto positivo.
Isso confirma a regra da parábola que disse antes.

Passo 5

Agora escrevo as soluções de cada desigualdade:
  • Para (x-x_{1})(x-x_{2})>0: os x fora do intervalo fechado entre as raízes:
x\in(-\infty,-2\sqrt{2})\cup(3\sqrt{2},\infty).
  • Para (x-x_{1})(x-x_{2})<0: os x estritamente entre as raízes:
x\in(-2\sqrt{2},\,3\sqrt{2}).
  • Para (x-x_{1})(x-x_{2})\ge 0: inclui as raízes:
x\in(-\infty,-2\sqrt{2}]\cup[3\sqrt{2},\infty).
  • Para (x-x_{1})(x-x_{2})\le 0: inclui as raízes (intervalo fechado entre elas):
x\in[-2\sqrt{2},\,3\sqrt{2}].

Resposta

(x-x_{1})(x-x_{2})>0:\;(-\infty,-2\sqrt{2})\cup(3\sqrt{2},\infty)
(x-x_{1})(x-x_{2})<0:\;(-2\sqrt{2},\,3\sqrt{2})
(x-x_{1})(x-x_{2})\ge 0:\;(-\infty,-2\sqrt{2}]\cup[3\sqrt{2},\infty)
(x-x_{1})(x-x_{2})\le 0:\;[-2\sqrt{2},\,3\sqrt{2}]

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