Sabendo que a equação
não possui raízes reais em
, determine os possíveis valores da constante
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação quadrática em
e pede os valores de
tais que essa equação não possui raízes reais em
.
Informações extraídas do enunciado:
- Coeficiente quadrático:
. - Coeficiente linear:
. - Termo constante:
.
O que queremos: o conjunto de valores de
para os quais a equação não tem soluções reais.
Passo 2
Primeiro devo tratar o caso degenerado
, ou seja
. Se
a equação deixa de ser quadrática e vira uma equação linear:
Essa equação linear tem a solução real
Logo, para
a equação possui raiz real. Portanto
não pertence ao conjunto procurado.
Passo 3
Para
a equação é uma quadrática propriamente dita. Lembrete útil (aula rápida): uma equação quadrática
tem raízes reais se, e somente se, o discriminante
satisfaz
. Portanto, para que a quadrática NÃO tenha raízes reais é necessário e suficiente que
Aqui
,
e
.
Passo 4
Calcular o discriminante substituindo os coeficientes:
Faço a expansão passo a passo:
Subtraindo:
Passo 5
Exigimos
. Assim:
Isolando
:
Note que essa condição implica
(pois
), portanto estamos dentro do caso quadrático tratado; o caso linear
já foi excluído.
Passo 6
Conclusão: a equação não possui raízes reais exatamente quando
satisfaz