Resolva os determinantes abaixo:
\left|\begin{array}{cccc}5 & 3 & 0 & 0 \\\\ 2 & 4 & 2 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3 & -3 \\\\ 2 & 3 & 1 & 2\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 5 & 3 & 0 & 0 \\\\ 2 & 4 & 2 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3 & -3 \\\\ 2 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}
O conteúdo aqui é expansão de Laplace (cofatores) e cálculo de determinantes 3\times3. Vamos usar a primeira linha, que tem dois zeros, para simplificar.

Passo 2

Fazendo expansão de Laplace na primeira linha, só os elementos nas colunas 1 e 2 contribuem. Logo,
\det(A) = a_{11}\,C_{11} + a_{12}\,C_{12} = 5\cdot\det(M_{11}) \;-\; 3\cdot\det(M_{12}),
onde M_{11} é o menor obtido removendo a linha 1 e coluna 1, e M_{12} é o menor removendo a linha 1 e coluna 2.

Passo 3

O menor M_{11} é
M_{11} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2\\\\ 1 & 3 & -3\\\\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det(M_{11}) =4\,(3\cdot2 -(-3)\cdot1) -2\,(1\cdot2-(-3)\cdot3) +2\,(1\cdot1-3\cdot3).
Isso dá
\det(M_{11}) =4\,(6+3)-2\,(2+9)+2\,(1-9) =4\cdot9-2\cdot11+2\cdot(-8) =36-22-16 =-2.

Passo 4

O menor M_{12} é
M_{12} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\\\ 1 & 3 & -3\\\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det(M_{12}) =2\,(3\cdot2 -(-3)\cdot1) -2\,(1\cdot2-(-3)\cdot2) +2\,(1\cdot1-3\cdot2).
Isso dá
\det(M_{12}) =2\,(6+3)-2\,(2+6)+2\,(1-6) =2\cdot9-2\cdot8+2\cdot(-5) =18-16-10 =-8.

Passo 5

Substituindo em \det(A)=5\cdot\det(M_{11})-3\cdot\det(M_{12}), temos
\det(A) =5\cdot(-2)-3\cdot(-8) =-10+24 =14.

Resposta

\,14

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