Resolva o sistema abaixo pelo método do escalonamento:
\left\{\begin{array}{c}x+y+z=3 \\\\ 2 x+3 y+z=6 \\\\ 4 x+5 y+3 z=12\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x + y + z = 3,\\\\ 2x + 3y + z = 6,\\\\ 4x + 5y + 3z = 12 \end{cases}
pelo método do escalonamento (eliminação de Gauss), que consiste em montar a matriz aumentada e torná-la triangular, para depois usar substituição reversa.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada associada ao sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\\\ 2 & 3 & 1 & 6\\\\ 4 & 5 & 3 & 12 \end{array}\right]

Passo 3

Zeramos os coeficientes de x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô:
  • L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1
  • L_3 \leftarrow L_3 - 4L_1
Isso dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\\\ 0 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right]

Passo 4

Agora zeramos o coeficiente de y em L_3 subtraindo L_2:
  • L_3 \leftarrow L_3 - L_2
Obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\\\ 0 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
o que corresponde ao sistema triangular
\begin{cases} x + y + z = 3,\\\ \phantom{x{+}}y - z = 0,\\\\ 0 = 0. \end{cases}

Passo 5

Usamos substituição reversa:
Da segunda equação,
y - z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = z.
Na primeira equação, substituindo y=z:
x + z + z = 3 \quad\Longrightarrow\quad x + 2z = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = 3 - 2z.

Passo 6

Como sobra a linha 0=0, temos uma variável livre. Seja t\in\mathbb{R} o valor de z. Então
\begin{cases} x = 3 - 2t,\\\ y = t,\\\ z = t. \end{cases}

Resposta

A solução geral do sistema é
(x,y,z) = (\,3 - 2t,\;t,\;t\,),\quad t\in\mathbb{R}.

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