1. Resolva:
    (e) Determine o valor de \mathrm{g}_{ \mathrm{m}} para um JFET ( \mathrm{I}_{ \mathrm{DSS}}=8 \mathrm{~mA}, \mathrm{~V}_{ \mathrm{P}}=-5 \mathrm{~V} ) quando polarizado em \mathrm{V}_{ \mathrm{GSQ}}=\mathrm{V}_{ \mathrm{P}} / 4.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de \mathrm{g}_{\mathrm{m}} para um JFET com \mathrm{I}_{\mathrm{DSS}}=8\\ \mathrm{mA} e \mathrm{V}_{\mathrm{P}}=-5\\ \mathrm{V}, quando polarizado em \mathrm{V}_{\mathrm{GSQ}}=\mathrm{V}_{\mathrm{P}}/4.
Informações dadas:
\mathrm{I}_{\mathrm{DSS}} = 8\\ \mathrm{mA},\qquad \mathrm{V}_{\mathrm{P}} = -5\\ \mathrm{V},\qquad \mathrm{V}_{\mathrm{GSQ}} = \frac{\mathrm{V}_{\mathrm{P}}}{4}.

Passo 2

Apresento a equação de Shockley (modelo clássico do JFET) que relaciona a corrente de dreno em regime estacionário com a tensão porta-fonte:
\mathrm{I}_{\mathrm{D}} = \mathrm{I}_{\mathrm{DSS}}\left(1-\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{GS}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{P}}}\right)^2.
Aqui:
  • \mathrm{I}_{\mathrm{D}} é a corrente de dreno no ponto de polarização;
  • \mathrm{I}_{\mathrm{DSS}} é a corrente de dreno para \mathrm{V}_{\mathrm{GS}}=0;
  • \mathrm{V}_{\mathrm{GS}} é a tensão porta-fonte (no nosso caso \mathrm{V}_{\mathrm{GSQ}});
  • \mathrm{V}_{\mathrm{P}} é a tensão de pinch-off (aqui negativa: -5\\ \mathrm{V}).
    Calculemos primeiro \mathrm{V}_{\mathrm{GSQ}}:
\mathrm{V}_{\mathrm{GSQ}}=\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{P}}}{4}=\frac{-5}{4}=-1{,}25\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Calcule a corrente de dreno no ponto de operação usando Shockley. Primeiro avalie o fator:
1-\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{GSQ}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{P}}}=1-\frac{-1{,}25}{-5}=1-0{,}25=0{,}75.
Agora eleve ao quadrado e multiplique por \mathrm{I}_{\mathrm{DSS}}:
\mathrm{I}_{\mathrm{D}}=\;8\\ \mathrm{mA}\times(0{,}75)^2=8\\ \mathrm{mA}\times0{,}5625=4{,}5\\ \mathrm{mA}.
Portanto o ponto de operação tem \mathrm{I}_{\mathrm{D}}=4{,}5\\ \mathrm{mA}.

Passo 4

Definição de transcondutância (pequeno-sinal): \mathrm{g}_{\mathrm{m}} é a derivada da corrente de dreno em relação à tensão porta-fonte, avaliada no ponto de operação:
\mathrm{g}_{\mathrm{m}}=\frac{d\mathrm{I}_{\mathrm{D}}}{d\mathrm{V}_{\mathrm{GS}}}.
A unidade de \mathrm{g}_{\mathrm{m}} é Siemens ( \mathrm{S}); frequentemente expressa em miliSiemens ( \mathrm{mS}) quando os valores são da ordem de mA/V.

Passo 5

Derivamos a equação de Shockley para obter \mathrm{g}_{\mathrm{m}}. Partindo de
\mathrm{I}_{\mathrm{D}}=\mathrm{I}_{\mathrm{DSS}}\left(1-\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{GS}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{P}}}\right)^2,
fazendo a derivada em relação a \mathrm{V}_{\mathrm{GS}}:
\frac{d\mathrm{I}_{\mathrm{D}}}{d\mathrm{V}_{\mathrm{GS}}} = \mathrm{I}_{\mathrm{DSS}}\cdot 2\left(1-\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{GS}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{P}}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{\mathrm{V}_{\mathrm{P}}}\right).
Portanto
\mathrm{g}_{\mathrm{m}} = -\frac{2\,\mathrm{I}_{\mathrm{DSS}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{P}}}\left(1-\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{GSQ}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{P}}}\right).
Observação: \mathrm{V}_{\mathrm{P}} é negativo; o sinal negativo da fórmula e o sinal de \mathrm{V}_{\mathrm{P}} fazem \mathrm{g}_{\mathrm{m}} positivo como esperado.

Passo 6

Substitua os valores numéricos passo a passo. Primeiro calcule o numerador da expressão intermediária:
-2\cdot\mathrm{I}_{\mathrm{DSS}}\left(1-\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{GSQ}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{P}}}\right) = -2\cdot 8\\ \mathrm{mA}\cdot 0{,}75 = -16\\ \mathrm{mA}\cdot 0{,}75 = -12\\ \mathrm{mA}.
Agora divida por \mathrm{V}_{\mathrm{P}}=-5\\ \mathrm{V}:
\mathrm{g}_{\mathrm{m}} = \frac{-12\\ \mathrm{mA}}{-5\\ \mathrm{V}} = 2{,}4\\ \mathrm{mA/V}.
Convertendo unidades, \mathrm{mA/V}=\mathrm{mS}, então \mathrm{g}_{\mathrm{m}}=2{,}4\\ \mathrm{mS}.

Passo 7

Verificação alternativa (checagem útil para prova): existe uma forma equivalente usando \mathrm{I}_{\mathrm{D}} calculado:
\mathrm{g}_{\mathrm{m}} = \frac{2\sqrt{\mathrm{I}_{\mathrm{DSS}}\mathrm{I}_{\mathrm{D}}}}{|\mathrm{V}_{\mathrm{P}}|}.
Calcule \sqrt{8\\ \mathrm{mA}\times4{,}5\\ \mathrm{mA}}=\sqrt{36}\\ \mathrm{mA}=6\\ \mathrm{mA}, então
\mathrm{g}_{\mathrm{m}}=\frac{2\cdot6\\ \mathrm{mA}}{5\\ \mathrm{V}}= \frac{12\\ \mathrm{mA}}{5\\ \mathrm{V}}=2{,}4\\ \mathrm{mS},
o mesmo resultado — ótimo sinal de consistência.

Resposta

\mathrm{g}_{\mathrm{m}} = 2{,}4\\ \mathrm{mS}

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