Resolva a EDO
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e observações imediatas:
- A incógnita indicada explicitamente na derivada é
, ou seja, estamos encontrando como função de : . - A expressão envolve também o símbolo
. O enunciado não fornece uma equação para , nem uma derivada de . - A equação é de primeira ordem (aparece apenas
) e envolve funções de (como e ) multiplicando . - O problema, portanto, é encontrar a família de soluções
que satisfazem a equação acima.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicando minha interpretação): a equação contém apenas
como derivada. Se
fosse uma função desconhecida de
além de
, precisaríamos de uma equação adicional para
e o problema estaria mal posto. Portanto a interpretação natural (e única sensata para resolver) é tratar
como um parâmetro constante (um número fixo) ao resolver para
. Com isso, a equação se torna uma equação de primeira ordem para
onde a variável
aparece apenas através da derivada
.
Método escolhido: isolar
e, por ser mais simples integrar em relação a
, inverter a derivada para obter
e integrar. Esse procedimento é permitido sempre que
localmente; analisaremos também se existem soluções singulares.
Passo 3
Reescrever a equação isolando
. Partimos de
Subtraindo 1 e dividindo por
(quando essa expressão não é zero) obtemos
Observação sobre soluções constantes: se procurássemos uma solução com
, a equação original ficaria
, o que é impossível. Portanto não existem soluções constantes
constante. Assim podemos proceder com a inversão da derivada sem descartar soluções constantes (já vimos que elas não existem).
Passo 4
Inverter a derivada para facilitar a integração. Como
, então
Desenvolvendo o sinal,
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Calcular as primitivas termo a termo e escrever a solução implícita. As integrais conhecidas são:
-
, porque a derivada de é . -
, que é a primitiva natural do recíproco.
Como
é tratado como constante, temos
Logo a relação entre
e
é
ou rearranjando para uma forma mais usual de solução implícita,
Domínio e observações finais:
- Como aparece
, exige-se na expressão da solução (o problema original já tem , então também seria singular). - A constante
é determinada por uma condição inicial, se fornecida. - Não há soluções constantes
const., conforme verificado no Passo 3.