Resolva a EDO 1+\left(\frac{z}{y}-\operatorname{sen} y\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
1+\left(\frac{z}{y}-\sin y\right)\frac{dy}{dx}=0.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A incógnita indicada explicitamente na derivada é y, ou seja, estamos encontrando y como função de x: y=y(x).
  • A expressão envolve também o símbolo z. O enunciado não fornece uma equação para z, nem uma derivada de z.
  • A equação é de primeira ordem (aparece apenas \frac{dy}{dx}) e envolve funções de y (como \sin y e 1/y) multiplicando \frac{dy}{dx}.
  • O problema, portanto, é encontrar a família de soluções y(x) que satisfazem a equação acima.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicando minha interpretação): a equação contém apenas \frac{dy}{dx} como derivada. Se z fosse uma função desconhecida de x além de y, precisaríamos de uma equação adicional para z e o problema estaria mal posto. Portanto a interpretação natural (e única sensata para resolver) é tratar z como um parâmetro constante (um número fixo) ao resolver para y(x). Com isso, a equação se torna uma equação de primeira ordem para y(x) onde a variável x aparece apenas através da derivada \frac{dy}{dx}.
Método escolhido: isolar \frac{dy}{dx} e, por ser mais simples integrar em relação a y, inverter a derivada para obter \frac{dx}{dy} e integrar. Esse procedimento é permitido sempre que \frac{dy}{dx}\neq 0 localmente; analisaremos também se existem soluções singulares.

Passo 3

Reescrever a equação isolando \dfrac{dy}{dx}. Partimos de
1+\left(\frac{z}{y}-\sin y\right)\frac{dy}{dx}=0.
Subtraindo 1 e dividindo por \left(\dfrac{z}{y}-\sin y\right) (quando essa expressão não é zero) obtemos
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\dfrac{z}{y}-\sin y}.
Observação sobre soluções constantes: se procurássemos uma solução com \dfrac{dy}{dx}=0, a equação original ficaria 1+(\cdots)\cdot 0=1=0, o que é impossível. Portanto não existem soluções constantes y(x)= constante. Assim podemos proceder com a inversão da derivada sem descartar soluções constantes (já vimos que elas não existem).

Passo 4

Inverter a derivada para facilitar a integração. Como \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{\dfrac{z}{y}-\sin y}, então
\frac{dx}{dy}=-\left(\frac{z}{y}-\sin y\right).
Desenvolvendo o sinal,
\frac{dx}{dy}=\sin y-\frac{z}{y}.
Agora integramos ambos os lados em relação a y:
x=\int\left(\sin y-\frac{z}{y}\right)\,dy + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Calcular as primitivas termo a termo e escrever a solução implícita. As integrais conhecidas são:
  • \displaystyle \int \sin y\,dy = -\cos y, porque a derivada de -\cos y é \sin y.
  • \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y|, que é a primitiva natural do recíproco.
Como z é tratado como constante, temos
\int\left(\sin y-\frac{z}{y}\right)\,dy = -\cos y - z\ln|y|.
Logo a relação entre x e y é
x = -\cos y - z\ln|y| + C,
ou rearranjando para uma forma mais usual de solução implícita,
\cos y + z\ln|y| + x = C.
Domínio e observações finais:
  • Como aparece \ln|y|, exige-se y\neq 0 na expressão da solução (o problema original já tem \dfrac{z}{y}, então y=0 também seria singular).
  • A constante C é determinada por uma condição inicial, se fornecida.
  • Não há soluções constantes y= const., conforme verificado no Passo 3.

Resposta

\cos y + z\ln|y| + x = C

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