Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
Enunciado e dados: temos o problema de valor inicial
O que o problema pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial, e determinar o maior intervalo
sobre o qual essa solução está definida. Dados relevantes: o coeficiente de
é a função
e o termo fonte é
; a condição inicial é em
.
Passo 2
Identificação do tipo de equação e método a usar (só identificação, sem resolver ainda): a equação tem a forma padrão
com
e
. Para equações lineares de primeira ordem usamos o fator integrante
, cuja construção e razão eu vou explicar no próximo passo.
Passo 3
Explicando o método do fator integrante (aula rápida e intuitiva):
Para uma equação da forma queremos encontrar uma função
tal que, ao multiplicarmos toda a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada de
. Ou seja, queremos
Para uma equação da forma
Calculando a derivada do produto,
. Igualando coeficientes vemos que precisamos de
, que é uma equação separável para
. Resolvendo
obtemos
onde a constante de integração pode ser ignorada (multiplica
por uma constante, o que não altera o método). Depois multiplicamos a equação original por
, obtemos
e integramos para achar
.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso problema:
Temos . Então
Temos
Não precisamos adicionar constante na exponencial.
Passo 5
Multiplicar a equação pelo fator integrante e reconhecer a derivada:
Multiplicando por obtemos
Multiplicando por
Pelo motivo explicado, o lado esquerdo é a derivada de
, então
Passo 6
Integrar ambos os lados para encontrar
:
Integramos em :
Integramos em
Agora calculamos a integral
. Faça a substituição
, logo
, e note que
. Assim
Integramos por partes
: tome
e
, então
e
. Assim
Multiplicando por
e voltando a
(lembre
) obtemos
Portanto
Passo 7
Isolar
e aplicar a condição inicial:
Dividindo por (que nunca é zero) obtemos
Dividindo por
Agora impomos
. Calculando
:
Igualando a
temos
, logo
Substituindo
na solução:
Passo 8
Determinar o maior intervalo de existência
:
As funções e
são contínuas para todo
. Pela teoria de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem, a solução que obtivemos existe e é única em todo o eixo real. Não há singularidades nem pontos onde o procedimento falhe. Portanto o maior intervalo de definição é
.
As funções