Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
y^{\prime}+4 x y=x^{3} e^{x^{2}}, \quad y(0)=-1

Passo 1

Enunciado e dados: temos o problema de valor inicial
y'+4xy = x^{3}e^{x^{2}},\qquad y(0)=-1.
O que o problema pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial, e determinar o maior intervalo I sobre o qual essa solução está definida. Dados relevantes: o coeficiente de y é a função 4x e o termo fonte é x^{3}e^{x^{2}}; a condição inicial é em x=0.

Passo 2

Identificação do tipo de equação e método a usar (só identificação, sem resolver ainda): a equação tem a forma padrão
y'+P(x)y=Q(x),
com P(x)=4x e Q(x)=x^{3}e^{x^{2}}. Para equações lineares de primeira ordem usamos o fator integrante \mu(x), cuja construção e razão eu vou explicar no próximo passo.

Passo 3

Explicando o método do fator integrante (aula rápida e intuitiva):
Para uma equação da forma \;y'+P(x)y=Q(x)\; queremos encontrar uma função \mu(x) tal que, ao multiplicarmos toda a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y. Ou seja, queremos
\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y = \frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
Calculando a derivada do produto, \frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu y' + \mu' y. Igualando coeficientes vemos que precisamos de \mu'\! = \mu P, que é uma equação separável para \mu. Resolvendo \mu'/\mu = P obtemos
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big),
onde a constante de integração pode ser ignorada (multiplica \mu por uma constante, o que não altera o método). Depois multiplicamos a equação original por \mu, obtemos \frac{d}{dx}(\mu y)=\mu Q e integramos para achar y.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso problema:
Temos P(x)=4x. Então
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 4x\,dx\Big)=\exp(2x^{2}).
Não precisamos adicionar constante na exponencial.

Passo 5

Multiplicar a equação pelo fator integrante e reconhecer a derivada:
Multiplicando por \mu(x)=e^{2x^{2}} obtemos
e^{2x^{2}}y' + 4x e^{2x^{2}} y = x^{3} e^{x^{2}} e^{2x^{2}}.
Pelo motivo explicado, o lado esquerdo é a derivada de e^{2x^{2}}y, então
\frac{d}{dx}\big(e^{2x^{2}}y\big) = x^{3} e^{3x^{2}}.

Passo 6

Integrar ambos os lados para encontrar y:
Integramos em x:
e^{2x^{2}}y = \int x^{3} e^{3x^{2}}\,dx + C.
Agora calculamos a integral \int x^{3} e^{3x^{2}}\,dx. Faça a substituição u=x^{2}, logo du=2x\,dx, e note que x^{3}dx = x^{2}\cdot x\,dx = u\cdot \frac{du}{2}. Assim
\int x^{3} e^{3x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int u e^{3u}\,du.
Integramos por partes \int u e^{3u}\,du: tome A=u e dV=e^{3u}du, então dA=du e V=\frac{1}{3}e^{3u}. Assim
\int u e^{3u}\,du = u\cdot\frac{1}{3}e^{3u} - \int \frac{1}{3}e^{3u}\,du = \frac{u}{3}e^{3u} - \frac{1}{9}e^{3u} + C.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} e voltando a x (lembre u=x^{2}) obtemos
\int x^{3} e^{3x^{2}}\,dx = e^{3x^{2}}\Big(\frac{x^{2}}{6} - \frac{1}{18}\Big) + C.
Portanto
e^{2x^{2}}y = e^{3x^{2}}\Big(\frac{x^{2}}{6} - \frac{1}{18}\Big) + C.

Passo 7

Isolar y(x) e aplicar a condição inicial:
Dividindo por e^{2x^{2}} (que nunca é zero) obtemos
y(x) = e^{x^{2}}\Big(\frac{x^{2}}{6} - \frac{1}{18}\Big) + C e^{-2x^{2}}.
Agora impomos y(0)=-1. Calculando y(0):
y(0) = e^{0}\Big(0 - \frac{1}{18}\Big) + C e^{0} = -\frac{1}{18} + C.
Igualando a -1 temos -\frac{1}{18} + C = -1, logo
C = -1 + \frac{1}{18} = -\frac{17}{18}.
Substituindo C na solução:
y(x) = e^{x^{2}}\Big(\frac{x^{2}}{6} - \frac{1}{18}\Big) - \frac{17}{18}\,e^{-2x^{2}}.

Passo 8

Determinar o maior intervalo de existência I:
As funções P(x)=4x e Q(x)=x^{3}e^{x^{2}} são contínuas para todo x\in\mathbb{R}. Pela teoria de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem, a solução que obtivemos existe e é única em todo o eixo real. Não há singularidades nem pontos onde o procedimento falhe. Portanto o maior intervalo de definição é (-\infty,\infty).

Resposta

y(x)=e^{x^{2}}\Big(\dfrac{x^{2}}{6}-\dfrac{1}{18}\Big)-\dfrac{17}{18}\,e^{-2x^{2}}\n I=(-\infty,\infty)

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