Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
x(x+1) \frac{d y}{d x}+x y=1, \quad y(e)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
x(x+1)\frac{dy}{dx}+x y=1,
com a condição \;y(e)=1.
O que nos pede: encontrar a solução y(x) que satisfaça a condição inicial e determinar o maior intervalo I em que essa solução está definida.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve os fatores x e x+1, portanto pontos onde x=0 ou x=-1 são especiais (possíveis singularidades).
  • A condição inicial está em x=e (que é positivo), então a solução procurada deve estar definida num intervalo que contenha x=e.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a equação numa forma padrão que dá para tratar passo a passo. Assumimos provisoriamente x\neq0 e x\neq-1 para poder dividir por x(x+1). Dividindo ambos os lados por x(x+1) obtemos
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}\,y=\frac{1}{x(x+1)}.
Aqui eu só dividi termo a termo: \dfrac{x y}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x+1}\,y e \dfrac{1}{x(x+1)} fica do lado direito. Observação importante: a divisão exigiu x\neq0 e x\neq-1; portanto a resolução que vem a seguir é válida somente em intervalos que não contenham esses pontos.

Passo 3

Agora reconhecemos a equação como uma equação linear de primeira ordem no formato
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
com
p(x)=\frac{1}{x+1},\qquad q(x)=\frac{1}{x(x+1)}.
Breve explicação do método do fator integrante (explicação didática): para uma equação y'+p(x)y=q(x) procuramos uma função \mu(x) tal que ao multiplicar a equação por \mu a expressão do lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y(x). Essa \mu é dada por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
O motivo: (\mu y)'=\mu y'+\mu' y. Se \mu'/\mu=p então (\mu y)'=\mu(y'+py), exatamente o que queremos.

Passo 4

Calculemos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int\frac{1}{x+1}\,dx\right)=\exp(\ln|x+1|)=|x+1|.
Para trabalhar com sinais convenientes podemos tomar \mu(x)=x+1 em qualquer intervalo onde x+1 não muda de sinal (isto é, em intervalos que não contenham -1); como já estamos restringidos a x\neq-1, usar \mu(x)=x+1 é apropriado. Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=x+1 obtemos
(x+1)\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (x+1)y, pois
\frac{d}{dx}\big((x+1)y\big)=(x+1)\frac{dy}{dx}+1\cdot y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big((x+1)y\big)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
(x+1)y=\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração. Assim isolamos y:
y(x)=\frac{\ln|x|+C}{x+1},
válido para x\neq0 e x\neq-1. Nota sobre o \ln|x|: ele aparece porque a integral de 1/x é \ln|x|; quando escolhermos o intervalo de definição da solução vamos poder eliminar o valor absoluto conforme o sinal de x.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial \;y(e)=1. Substituindo x=e (e lembrando que |e|=e e \ln e=1) obtemos
1=y(e)=\frac{\ln e + C}{e+1}=\frac{1+C}{e+1}.
Multiplicando, 1+C=e+1, daí
C=e.

Passo 7

Substituindo C=e na expressão geral da solução temos
y(x)=\frac{\ln|x|+e}{x+1}.
Como a condição inicial está em x=e>0, e a solução deve ser definida num intervalo que contenha e sem passar por pontos singulares, podemos escrever \ln|x|=\ln x para x>0. Assim, na vizinhança que interessa (isto é, no intervalo que contém e) a solução é
y(x)=\frac{\ln x + e}{x+1},\qquad x>0,\; x\neq -1\\ (\text{este último já é impossível para }x>0).úáéí

Passo 8

Determinando o maior intervalo I de definição: a solução geral foi obtida supondo x\neq0 e x\neq-1; portanto possíveis intervalos de existência maximal são os intervalos entre essas singularidades:
(-\infty,-1),\quad(-1,0),\quad(0,\infty).
Como a condição inicial está em x=e\in(0,\infty), o maior intervalo que contém e onde a solução é bem definida e única é
(0,\infty).
Observação final: não é possível estender a solução além de x=0 porque \ln x\to-\infty quando x\to0^+, logo a solução diverge ao aproximar-se de 0.

Resposta

y(x)=\frac{\ln x + e}{x+1},\qquad x\in(0,\infty)

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