Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
com a condição
.
O que nos pede: encontrar a solução que satisfaça a condição inicial e determinar o maior intervalo
em que essa solução está definida.
O que nos pede: encontrar a solução
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação envolve os fatores
e , portanto pontos onde ou são especiais (possíveis singularidades). - A condição inicial está em
(que é positivo), então a solução procurada deve estar definida num intervalo que contenha .
Passo 2
Primeiro vamos escrever a equação numa forma padrão que dá para tratar passo a passo. Assumimos provisoriamente
e
para poder dividir por
. Dividindo ambos os lados por
obtemos
Aqui eu só dividi termo a termo:
e
fica do lado direito. Observação importante: a divisão exigiu
e
; portanto a resolução que vem a seguir é válida somente em intervalos que não contenham esses pontos.
Passo 3
Agora reconhecemos a equação como uma equação linear de primeira ordem no formato
com
Breve explicação do método do fator integrante (explicação didática): para uma equação
procuramos uma função
tal que ao multiplicar a equação por
a expressão do lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Essa
é dada por
O motivo:
. Se
então
, exatamente o que queremos.
Passo 4
Calculemos o fator integrante:
Para trabalhar com sinais convenientes podemos tomar
em qualquer intervalo onde
não muda de sinal (isto é, em intervalos que não contenham
); como já estamos restringidos a
, usar
é apropriado. Multiplicando a equação padrão por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Portanto a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Assim isolamos
:
válido para
e
. Nota sobre o
: ele aparece porque a integral de
é
; quando escolhermos o intervalo de definição da solução vamos poder eliminar o valor absoluto conforme o sinal de
.
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
(e lembrando que
e
) obtemos
Multiplicando,
, daí
Passo 7
Substituindo
na expressão geral da solução temos
Como a condição inicial está em
, e a solução deve ser definida num intervalo que contenha
sem passar por pontos singulares, podemos escrever
para
. Assim, na vizinhança que interessa (isto é, no intervalo que contém
) a solução é
Passo 8
Determinando o maior intervalo
de definição: a solução geral foi obtida supondo
e
; portanto possíveis intervalos de existência maximal são os intervalos entre essas singularidades:
Como a condição inicial está em
, o maior intervalo que contém
onde a solução é bem definida e única é
Observação final: não é possível estender a solução além de
porque
quando
, logo a solução diverge ao aproximar-se de
.