Resolva a EDO:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral
da equação diferencial para
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação envolve
, e . - O coeficiente de
é , que se anula em . Isso indica que é um ponto singular da forma explícita da EDO (a solução será tratada em intervalos onde ). - Não há outras informações numéricas; a constante de integração aparecerá na solução geral.
Passo 2
Colocar a EDO na forma linear padrão
.
Começo isolando
. A equação dada é
Passando os dois primeiros termos para o outro lado,
Dividindo por
(considerando intervalos onde
),
Logo é uma equação linear de primeira ordem com
Passo 3
Lembrando a técnica do fator integrante (explicação didática).
Para uma EDO linear de primeira ordem
o fator integrante é
Motivação rápida: multiplicando a equação por
transforma o lado esquerdo em
, porque
e escolhemos
tal que
, isto é
, cuja solução é
.
Então vamos calcular
para o nosso
.
Passo 4
Calcular o fator integrante.
Temos
Calcular a integral
Fazer a substituição
. Então
. A integral vira
Portanto um fator integrante é
Como fator integrante pode-se tomar
(difere apenas por sinal em intervalos onde
, o método funciona igualmente usando
). Para simplificar, uso
Passo 5
Multiplicar a equação pela fator integrante e reconhecer a derivada composta.
Multiplicando a forma padrão por
obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
, pois
Logo a equação se reduz a
Passo 6
Integrar ambos os lados para obter a solução implícita e isolar
.
Integrando em relação a
,
onde
é a constante de integração. Portanto
Essa é a solução geral válida em qualquer intervalo onde
(isto é, em intervalos contíguos sem
). A constante
é arbitrária real.
Passo 7
Comentários sobre o ponto
(onde
) e possibilidade de extensão contínua.
A fórmula acima tem denominador zero em
. Contudo, se escolher
o numerador também se anula em
e a expressão pode ter um limite finito quando
. Calcular o limite no caso
:
Aplicando a Regra de L’Hôpital (0/0), derivando numerador e denominador:
Esse valor coincide com o valor exigido pela equação original reduzida em
, que é
. Portanto, escolhendo
a solução definida por
tem um limite finito em
e pode ser continuamente estendida a
.
Passo 8
Verificação rápida (checagem).
Partindo de
e derivando ambos os lados obtém-se
que é exatamente a forma que tivemos antes de rearranjar; portanto a solução encontrada satisfaz a equação.
Resposta
com
constante arbitrária (solução válida em intervalos onde
; para
obtém-se extensão contínua em
).