Resolva a EDO:
\frac{d y}{d x}-\frac{2 y^{2}-x^{2} y^{2}}{3+2 y}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}-\frac{2 y^{2}-x^{2} y^{2}}{3+2 y}=0.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A equação pode ser reescrita isolando a derivada como
\frac{d y}{d x}=\frac{2y^{2}-x^{2}y^{2}}{3+2y}.
  • O numerador é y^{2}(2-x^{2}).
  • O denominador é 3+2y; portanto y=-\tfrac{3}{2} é um valor onde a equação original fica indefinida.
  • A presença de y^{2} e de uma função de x multiplicando-a sugere que podemos conseguir separar x e y.
  • Deve-se verificar possíveis soluções constantes (casos que não aparecem ao dividir por y ou y^{2}).

Passo 2

Procurar soluções constantes (funções y(x) que não dependem de x). Uma solução constante satisfaz \dfrac{d y}{d x}=0. Pelo formato reescrito:
0=\frac{y^{2}(2-x^{2})}{3+2y}.
Para uma solução constante válida para todo x precisamos que a parte que depende só de y seja zero independentemente de x. As possibilidades:
  • y^{2}=0 y\equiv 0, que é uma solução constante válida (verificar na equação original: substituindo y=0 a RHS fica 0, ok).
  • 2-x^{2}=0 só ocorre em pontos x=\pm\sqrt{2}, não em todo intervalo, logo não gera solução constante.
  • 3+2y=0 (i.e. y=-\tfrac{3}{2}) torna o denominador zero, portanto não é solução válida (a equação fica indefinida), exceto possivelmente em pontos isolados onde tanto numerador quanto denominador sejam zero, mas isso não dá solução global.
    Conclusão: a solução constante é y\equiv 0. As demais soluções serão não-constantes e podemos tentar separar variáveis.

Passo 3

Reescrever a equação de forma que x e dx fiquem de um lado e y e dy do outro. A partir de
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}(2-x^{2})}{3+2y}
passa-se dx para a direita e divide-se por y^{2}/(3+2y) (com cuidado: isso exige y\neq 0; lembrando que y=0 já foi tratada como solução separada):
\frac{3+2y}{y^{2}}\,dy=(2-x^{2})\,dx.
Esta é uma equação separável: o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x.

Passo 4

Preparar a integração. Simplificar a função em y para integrar de forma simples:
\frac{3+2y}{y^{2}}=\frac{3}{y^{2}}+\frac{2}{y}=3y^{-2}+2y^{-1}.
Agora integrar ambos os lados:
\int\left(3y^{-2}+2y^{-1}\right)\,dy=\int(2-x^{2})\,dx.

Passo 5

Calcular as primitivas termo a termo e explicar cada uma:
  • Para \int 3y^{-2}\,dy: usar a regra \int y^{n}\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq-1. Aqui n=-2, então
\int 3y^{-2}\,dy=3\cdot\left(\frac{y^{-1}}{-1}\right)=-\frac{3}{y}.
  • Para \int 2y^{-1}\,dy: lembrar que \int y^{-1}\,dy=\ln|y|. Assim
\int 2y^{-1}\,dy=2\ln|y|.
  • Para o lado direito, \int 2\,dx=2x e \int -x^{2}\,dx=-\dfrac{x^{3}}{3}.
    Portanto, somando as primitivas:
-\frac{3}{y}+2\ln|y|=2x-\frac{x^{3}}{3}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Tratar questões de domínio e constantes:
  • Na integração usamos \ln|y|, então a expressão envolve y\neq 0. O caso y=0 já foi tratado como solução constante separada.
  • A solução obtida é uma solução implícita válida em intervalos onde y(x) não muda de sinal e onde y\neq -\tfrac{3}{2} (pois este último valor anula o denominador original).
  • A equação implícita pode ser reorganizada, se desejar, como
2\ln|y|-\frac{3}{y}-2x+\frac{x^{3}}{3}=C.
Não é possível isolar y em termos de x com funções elementares de forma prática; a forma implícita acima é a solução geral não-constante.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação implícita (só para checar que não escapou nada):
Diferenciando -\tfrac{3}{y}+2\ln|y|=2x-\tfrac{x^{3}}{3}+C em relação a x e usando \dfrac{d}{dx}\ln|y|=\dfrac{y'}{y}, obtemos
\left(\frac{3}{y^{2}}+\frac{2}{y}\right)y'=2-x^{2},
ou seja
y'=\frac{y^{2}(2-x^{2})}{3+2y},
que é justamente a equação original. Tudo consistente.

Passo 8

Resumo e observações finais (meio amigável, pra te dar ânimo): a técnica-chave foi identificar que a ODE é separável, isolar dy e dx, integrar termo a termo e lembrar de checar soluções constantes e restrições de domínio. Você já resolve várias assim, é só praticar alguns exemplos parecidos para fixar!

Resposta

-\dfrac{3}{y}+2\ln|y|=2x-\dfrac{x^{3}}{3}+C
y\equiv 0

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