Resolva a EDO:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A equação pode ser reescrita isolando a derivada como
- O numerador é
. - O denominador é
; portanto é um valor onde a equação original fica indefinida. - A presença de
e de uma função de multiplicando-a sugere que podemos conseguir separar e . - Deve-se verificar possíveis soluções constantes (casos que não aparecem ao dividir por
ou ).
Passo 2
Procurar soluções constantes (funções
que não dependem de
). Uma solução constante satisfaz
. Pelo formato reescrito:
Para uma solução constante válida para todo
precisamos que a parte que depende só de
seja zero independentemente de
. As possibilidades:
-
dá , que é uma solução constante válida (verificar na equação original: substituindo a RHS fica , ok). -
só ocorre em pontos , não em todo intervalo, logo não gera solução constante. -
(i.e. ) torna o denominador zero, portanto não é solução válida (a equação fica indefinida), exceto possivelmente em pontos isolados onde tanto numerador quanto denominador sejam zero, mas isso não dá solução global.
Conclusão: a solução constante é. As demais soluções serão não-constantes e podemos tentar separar variáveis.
Passo 3
Reescrever a equação de forma que
e
fiquem de um lado e
e
do outro. A partir de
passa-se
para a direita e divide-se por
(com cuidado: isso exige
; lembrando que
já foi tratada como solução separada):
Esta é uma equação separável: o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
.
Passo 4
Preparar a integração. Simplificar a função em
para integrar de forma simples:
Agora integrar ambos os lados:
Passo 5
Calcular as primitivas termo a termo e explicar cada uma:
- Para
: usar a regra para . Aqui , então
- Para
: lembrar que . Assim
- Para o lado direito,
e .
Portanto, somando as primitivas:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Tratar questões de domínio e constantes:
- Na integração usamos
, então a expressão envolve . O caso já foi tratado como solução constante separada. - A solução obtida é uma solução implícita válida em intervalos onde
não muda de sinal e onde (pois este último valor anula o denominador original). - A equação implícita pode ser reorganizada, se desejar, como
Não é possível isolar
em termos de
com funções elementares de forma prática; a forma implícita acima é a solução geral não-constante.
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação implícita (só para checar que não escapou nada):
Diferenciando em relação a
e usando
, obtemos
Diferenciando
ou seja
que é justamente a equação original. Tudo consistente.
Passo 8
Resumo e observações finais (meio amigável, pra te dar ânimo): a técnica-chave foi identificar que a ODE é separável, isolar
e
, integrar termo a termo e lembrar de checar soluções constantes e restrições de domínio. Você já resolve várias assim, é só praticar alguns exemplos parecidos para fixar!