Resolva a EDO
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
com
O que se pede é encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial, e indicar o intervalo onde essa solução é válida.
Passo 2
Vamos reescrever a equação colocando a derivada como
. Isso ajuda a ver se as variáveis podem ser separadas:
Subtraindo
dos dois lados:
Aqui a ideia é separar todas as expressões que dependem de
para um lado e as que dependem de
para o outro. Isso é chamado de separação de variáveis: conseguimos escrever a equação na forma
.
Passo 3
Separe as variáveis: divida ambos os lados por
(atenção: isso exige
; verificaremos depois se isso causa problema com a condição inicial):
Agora coloque
do outro lado:
Pronto — as variáveis estão separadas: todo termo em
no lado esquerdo e todo termo em
no lado direito.
Passo 4
Integre os dois lados. Lembre:
, porque ao diferenciar
obtemos
. Então
Calcule as integrais:
onde
é a constante de integração (aqui foi usada a constante apenas de um lado; constantes provenientes de cada integral podem ser combinadas numa única constante).
Passo 5
Isolando
e renomeando a constante para tornar a expressão mais simples: multiplique por
onde
é outra constante arbitrária. Agora inverta para obter
:
Observe que essa expressão exige
para que
esteja bem definida.
Passo 6
Use a condição inicial
para determinar
. Substitua
e
em
Daqui segue
. Substituindo em
obtemos
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): calcule
a partir de
. Pela regra da cadeia,
Calcule
:
Somando
obtemos zero, logo a solução satisfaz a EDO. Também
, que satisfaz a condição inicial.
Passo 8
Domínio e unicidade: a solução encontrada tem denominador
, que se anula em
. Como a condição inicial está em
, o maior intervalo aberto contendo
onde a solução é bem definida é
. Além disso, a função do lado direito da EDO,
, e sua derivada parcial em
,
, são contínuas em qualquer retângulo que contenha
, portanto o teorema de existência e unicidade garante que a solução é única no intervalo máximo que contém
, isto é em
.