Resolva a EDO \left\{\begin{array}{c}y^{\prime}+2 x y^{2}=0 \\\ y(0)=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y'+2 x y^{2}=0
com
y(0)=-1.
O que se pede é encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial, e indicar o intervalo onde essa solução é válida.

Passo 2

Vamos reescrever a equação colocando a derivada como \dfrac{dy}{dx}. Isso ajuda a ver se as variáveis podem ser separadas:
\frac{dy}{dx}+2x y^{2}=0.
Subtraindo 2x y^{2} dos dois lados:
\frac{dy}{dx}=-2x y^{2}.
Aqui a ideia é separar todas as expressões que dependem de y para um lado e as que dependem de x para o outro. Isso é chamado de separação de variáveis: conseguimos escrever a equação na forma g(y)\,dy = h(x)\,dx.

Passo 3

Separe as variáveis: divida ambos os lados por y^{2} (atenção: isso exige y\neq 0; verificaremos depois se isso causa problema com a condição inicial):
\frac{1}{y^{2}}\,\frac{dy}{dx}=-2x.
Agora coloque dx do outro lado:
\frac{1}{y^{2}}\,dy=-2x\,dx.
Pronto — as variáveis estão separadas: todo termo em y no lado esquerdo e todo termo em x no lado direito.

Passo 4

Integre os dois lados. Lembre: \int y^{-2}\,dy = \int y^{-2}\,dy = -y^{-1}+C, porque ao diferenciar -y^{-1} obtemos y^{-2}. Então
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy=\int -2x\,dx.
Calcule as integrais:
-\,\frac{1}{y}=-x^{2}+C,
onde C é a constante de integração (aqui foi usada a constante apenas de um lado; constantes provenientes de cada integral podem ser combinadas numa única constante).

Passo 5

Isolando \dfrac{1}{y} e renomeando a constante para tornar a expressão mais simples: multiplique por -1
\frac{1}{y}=x^{2}+C',
onde C'=-C é outra constante arbitrária. Agora inverta para obter y:
y=\frac{1}{x^{2}+C'}.
Observe que essa expressão exige x^{2}+C'\neq 0 para que y esteja bem definida.

Passo 6

Use a condição inicial y(0)=-1 para determinar C'. Substitua x=0 e y(0)=-1 em
-1=\frac{1}{0^{2}+C'}=\frac{1}{C'}.
Daqui segue C'=-1. Substituindo em y obtemos
y(x)=\frac{1}{x^{2}-1}.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): calcule y' a partir de y(x)= (x^{2}-1)^{-1}. Pela regra da cadeia,
y'=-1\cdot(x^{2}-1)^{-2}\cdot 2x=-\frac{2x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Calcule 2x y^{2}:
2x y^{2}=2x\left(\frac{1}{x^{2}-1}\right)^{2}=\frac{2x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Somando y'+2x y^{2} obtemos zero, logo a solução satisfaz a EDO. Também y(0)=1/(0-1)=-1, que satisfaz a condição inicial.

Passo 8

Domínio e unicidade: a solução encontrada tem denominador x^{2}-1, que se anula em x=\pm1. Como a condição inicial está em x=0, o maior intervalo aberto contendo 0 onde a solução é bem definida é (-1,1). Além disso, a função do lado direito da EDO, f(x,y)=-2x y^{2}, e sua derivada parcial em y, \partial f/\partial y=-4x y, são contínuas em qualquer retângulo que contenha (0,-1), portanto o teorema de existência e unicidade garante que a solução é única no intervalo máximo que contém 0, isto é em (-1,1).

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{1}{x^{2}-1},\quad x\in(-1,1)

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