Para y=x^{2}+c é solução geral da EDO \frac{d y}{d x}=2 x.

Passo 1

O enunciado diz que a família de funções y=x^{2}+c (onde c é uma constante real) é a solução geral da equação diferencial ordinária \dfrac{dy}{dx}=2x. O que se pede implicitamente é mostrar que:
  • cada função da família satisfaz a equação diferencial dada;
  • e que essa família representa a solução geral (isto é, obtida por integração, contendo a constante arbitrária que permite ajustar qualquer condição inicial).
As informações relevantes fornecidas são:
  • a equação diferencial: \dfrac{dy}{dx}=2x;
  • a família candidata: y=x^{2}+c, com c constante arbitrária.

Passo 2

O que significa “ser solução” e “ser solução geral”:
  • Uma função y(x) é solução da EDO se, ao calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} e substituí-la na equação, a igualdade é satisfeita para todo x do domínio.
  • “Solução geral” de uma EDO de primeira ordem é a antiderivada obtida por integração da forma geral, contendo uma constante arbitrária (constante de integração). Essa constante permite ajustar soluções particulares para diferentes condições iniciais.

Passo 3

Verificação direta (teste substitutivo): calcular a derivada de y(x)=x^{2}+c.
  • Regra usada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. A derivada de uma constante é 0. A derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • Aplicando a regra ao termo x^{2}: a derivada é 2x.
  • Aplicando ao termo c: a derivada é 0.
Portanto,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+c\bigr)=2x+0=2x.
Como a derivada coincide com o lado direito da EDO ( 2x), cada função da família y=x^{2}+c satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Derivação por integração (mostrar como se encontra a solução geral):
  • Partir da EDO escrita como diferencial:
\frac{dy}{dx}=2x.
  • Separar os diferenciais (forma informal e usual para integrais indefinidas):
dy=2x\,dx.
  • Integrar ambos os lados (integrais indefinidas):
\int dy=\int 2x\,dx.
  • Saber a antiderivada: \displaystyle\int 1\,dy=y+C e \displaystyle\int 2x\,dx= x^{2}+C'. Ao integrar, sempre aparece uma constante de integração (aqui chamei de C').
  • Igualando as integrais obtemos
y = x^{2} + C',
onde C' é uma constante arbitrária real. Renomeando C' para c recuperamos a forma dada.

Passo 5

Explicação didática do papel da constante c:
  • A constante c é a constante de integração. Ela é necessária porque uma integral indefinida é determinada apenas até uma constante.
  • Essa constante permite gerar soluções particulares: para cada valor de c obtém-se uma função y(x) que satisfaz a EDO.
  • Dado um problema com condição inicial (por exemplo, y(x_{0})=y_{0}), basta escolher c tal que y_{0}=x_{0}^{2}+c, isto é,
c = y_{0}-x_{0}^{2},
para obter a solução particular que satisfaz essa condição.

Passo 6

Comentário sobre unicidade (por que chamamos “geral”):
  • A EDO é de primeira ordem com o lado direito 2x contínuo em todo \mathbb{R}. Pelo teorema de existência e unicidade para EDOs de primeira ordem (condição de Lipschitz local satisfeita aqui), para cada condição inicial (x_{0},y_{0}) existe uma única solução passando por esse ponto.
  • A família y=x^{2}+c contém exatamente uma função para cada possível valor de c, e ajustando c conforme a condição inicial obtém‑se a única solução que o problema exige. Por isso a família é a solução geral.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar a ideia:
  • Se a condição inicial for y(1)=5, então substitui-se x=1 e y=5 em y=x^{2}+c:
5 = 1^{2} + c \quad\Rightarrow\quad c=4.
  • A solução particular que satisfaz essa condição inicial é y = x^{2}+4.

Passo 8

Resumo do raciocínio prático para usar na prova (receita):
  1. Verifique que a derivada de x^{2}+c é 2x (derivada de x^{2} é 2x, de c é 0). Se for igual ao lado direito da EDO, a família satisfaz a EDO.
  2. Ou obtenha por integração direta: integrar \dfrac{dy}{dx}=2x y=x^{2}+c.
  3. Interprete c como constante de integração que ajusta condições iniciais. Isso garante que a expressão é a solução geral.

Resposta

Sim. y=x^{2}+c é a solução geral da EDO \dfrac{dy}{dx}=2x.

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