Para
é solução geral da EDO
.
Passo 1
O enunciado diz que a família de funções
(onde
é uma constante real) é a solução geral da equação diferencial ordinária
. O que se pede implicitamente é mostrar que:
- cada função da família satisfaz a equação diferencial dada;
- e que essa família representa a solução geral (isto é, obtida por integração, contendo a constante arbitrária que permite ajustar qualquer condição inicial).
As informações relevantes fornecidas são:
- a equação diferencial:
; - a família candidata:
, com constante arbitrária.
Passo 2
O que significa “ser solução” e “ser solução geral”:
- Uma função
é solução da EDO se, ao calcular a derivada e substituí-la na equação, a igualdade é satisfeita para todo do domínio. - “Solução geral” de uma EDO de primeira ordem é a antiderivada obtida por integração da forma geral, contendo uma constante arbitrária (constante de integração). Essa constante permite ajustar soluções particulares para diferentes condições iniciais.
Passo 3
Verificação direta (teste substitutivo): calcular a derivada de
.
- Regra usada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. A derivada de uma constante é
. A derivada de é . - Aplicando a regra ao termo
: a derivada é . - Aplicando ao termo
: a derivada é .
Portanto,
Como a derivada coincide com o lado direito da EDO (
), cada função da família
satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Derivação por integração (mostrar como se encontra a solução geral):
- Partir da EDO escrita como diferencial:
- Separar os diferenciais (forma informal e usual para integrais indefinidas):
- Integrar ambos os lados (integrais indefinidas):
- Saber a antiderivada:
e . Ao integrar, sempre aparece uma constante de integração (aqui chamei de ). - Igualando as integrais obtemos
onde
é uma constante arbitrária real. Renomeando
para
recuperamos a forma dada.
Passo 5
Explicação didática do papel da constante
:
- A constante
é a constante de integração. Ela é necessária porque uma integral indefinida é determinada apenas até uma constante. - Essa constante permite gerar soluções particulares: para cada valor de
obtém-se uma função que satisfaz a EDO. - Dado um problema com condição inicial (por exemplo,
), basta escolher tal que , isto é,
para obter a solução particular que satisfaz essa condição.
Passo 6
Comentário sobre unicidade (por que chamamos “geral”):
- A EDO é de primeira ordem com o lado direito
contínuo em todo . Pelo teorema de existência e unicidade para EDOs de primeira ordem (condição de Lipschitz local satisfeita aqui), para cada condição inicial existe uma única solução passando por esse ponto. - A família
contém exatamente uma função para cada possível valor de , e ajustando conforme a condição inicial obtém‑se a única solução que o problema exige. Por isso a família é a solução geral.
Passo 7
Exemplo numérico para fixar a ideia:
- Se a condição inicial for
, então substitui-se e em :
- A solução particular que satisfaz essa condição inicial é
.
Passo 8
Resumo do raciocínio prático para usar na prova (receita):
- Verifique que a derivada de
é (derivada de é , de é ). Se for igual ao lado direito da EDO, a família satisfaz a EDO. - Ou obtenha por integração direta: integrar
dá . - Interprete
como constante de integração que ajusta condições iniciais. Isso garante que a expressão é a solução geral.
Resposta
Sim.
é a solução geral da EDO
.