Em qual intervalo y=x^{-1} é solução de x y^{\prime}+y=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma função candidata e pede em quais intervalos essa função é solução. Informações claras que temos:
  • A equação diferencial é x\,y'(x)+y(x)=0.
  • A função candidata é y(x)=x^{-1}.
  • É preciso determinar para quais intervalos de x essa função satisfaz a equação (ou seja, onde ela é solução).
    Observação importante: a função y(x)=x^{-1} não está definida em x=0. Isso já indica que qualquer intervalo onde ela seja solução não pode conter 0.

Passo 2

Calcular a derivada de y(x)=x^{-1}. Vou usar a regra do poder: para qualquer n\in\mathbb{R},
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando com n=-1, obtemos
y'(x)=\frac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
Aqui y'(x) significa a derivada de y em relação a x.

Passo 3

Substituir y(x) e y'(x) na equação diferencial para verificar se a igualdade é satisfeita. A equação é
x\,y'(x)+y(x)=0.
Substituindo y'(x)=-x^{-2} e y(x)=x^{-1} obtemos
x\cdot(-x^{-2}) + x^{-1} = -x^{-1} + x^{-1} = 0.
A conta mostra que a igualdade é verdadeira sempre que as expressões estejam bem definidas (isto é, quando não há divisão por zero).

Passo 4

Determinar o domínio onde a verificação é válida. As expressões x^{-1} e x^{-2} exigem x\neq 0. Portanto a verificação feita no passo anterior vale para todo x tal que x\neq 0. Em termos de intervalos, isso significa que y(x)=x^{-1} satisfaz a equação diferencial em qualquer intervalo aberto que não contenha 0 — por exemplo, em (0,\infty) e em (-\infty,0), ou em qualquer subintervalo desses.

Passo 5

(Mini‑aula rápida: método que aparece na prova) Outra maneira — útil para entender a família de soluções — é resolver a equação por separação de variáveis. Reescrevendo
x\frac{dy}{dx}=-y,
e supondo x\neq 0 e y\neq 0 (para poder dividir), obtemos
\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}.
Integrando ambos os lados,
\int\frac{dy}{y}=\int -\frac{dx}{x}
\ln|y| = -\ln|x| + C,
onde C é constante de integração. Reescrevendo,
\ln|y|+\ln|x|=C\quad\Rightarrow\quad \ln|xy|=C.
Exponenciando,
|xy|=e^{C}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{K}{x},
onde K é uma constante real (pode ser positiva ou negativa, já absorvendo o sinal). Assim a família geral de soluções, para x\neq 0, é y(x)=K x^{-1}. A função dada y(x)=x^{-1} corresponde ao caso K=1. Isso confirma que a solução é válida exatamente onde x\neq 0.

Passo 6

Conclusão e interpretação prática para a prova: ao verificar uma solução candidata, sempre calcule a derivada, substitua na equação e cheque a igualdade, lembrando de observar o domínio (pontos onde a função ou a derivada não existem). Aqui a verificação deu 0=0 sempre que x\neq 0, então a solução é válida em qualquer intervalo que não contenha 0.

Resposta

Em qualquer intervalo contido em \mathbb{R}\setminus\{0\} (por exemplo (-\infty,0) e (0,\infty)).

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