Em qual intervalo
é solução de
?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma função candidata e pede em quais intervalos essa função é solução. Informações claras que temos:
- A equação diferencial é
. - A função candidata é
. - É preciso determinar para quais intervalos de
essa função satisfaz a equação (ou seja, onde ela é solução).
Observação importante: a funçãonão está definida em . Isso já indica que qualquer intervalo onde ela seja solução não pode conter .
Passo 2
Calcular a derivada de
. Vou usar a regra do poder: para qualquer
,
Aplicando com
, obtemos
Aqui
significa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Substituir
e
na equação diferencial para verificar se a igualdade é satisfeita. A equação é
Substituindo
e
obtemos
A conta mostra que a igualdade é verdadeira sempre que as expressões estejam bem definidas (isto é, quando não há divisão por zero).
Passo 4
Determinar o domínio onde a verificação é válida. As expressões
e
exigem
. Portanto a verificação feita no passo anterior vale para todo
tal que
. Em termos de intervalos, isso significa que
satisfaz a equação diferencial em qualquer intervalo aberto que não contenha
— por exemplo, em
e em
, ou em qualquer subintervalo desses.
Passo 5
(Mini‑aula rápida: método que aparece na prova) Outra maneira — útil para entender a família de soluções — é resolver a equação por separação de variáveis. Reescrevendo
e supondo
e
(para poder dividir), obtemos
Integrando ambos os lados,
onde
é constante de integração. Reescrevendo,
Exponenciando,
onde
é uma constante real (pode ser positiva ou negativa, já absorvendo o sinal). Assim a família geral de soluções, para
, é
. A função dada
corresponde ao caso
. Isso confirma que a solução é válida exatamente onde
.
Passo 6
Conclusão e interpretação prática para a prova: ao verificar uma solução candidata, sempre calcule a derivada, substitua na equação e cheque a igualdade, lembrando de observar o domínio (pontos onde a função ou a derivada não existem). Aqui a verificação deu
sempre que
, então a solução é válida em qualquer intervalo que não contenha
.
Resposta
Em qualquer intervalo contido em
(por exemplo
e
).