Resolva a EDO
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\frac{y}{25}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem
x^{2}y''+x y'+\frac{y}{25}=0.
Informações importantes que temos à mão:
  • É uma equação linear homogênea de segunda ordem.
  • Os coeficientes são funções de x que envolvem potências de x; a equação está bem definida para x\neq 0.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) válida em um intervalo onde x\neq 0.

Passo 2

Vamos tentar uma solução do tipo y=x^{m}, onde m é um número que vamos determinar. Por que essa tentativa? Porque quando os coeficientes são monômios em x (como x^{2} e x), essa forma transforma derivadas em potências de x e permite fatorar x^{m}, levando a uma equação algébrica para m. Agora calculo as derivadas de y=x^{m}:
y'=m x^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.
Substituo essas expressões na equação original.

Passo 3

Substituindo em x^{2}y''+x y'+\dfrac{y}{25}=0 obtemos
x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big)+x\big(m x^{m-1}\big)+\frac{1}{25}x^{m}=0.
Fatorando x^{m} (que para x\neq0 não é zero) temos
x^{m}\big(m(m-1)+m+\tfrac{1}{25}\big)=0,
logo o fator entre parênteses deve ser zero. Isso dá a equação característica
m(m-1)+m+\frac{1}{25}=0.
Simplificando m(m-1)+m = m^{2}, a equação vira
m^{2}+\frac{1}{25}=0.
Resolve-se para m:
m^{2}=-\frac{1}{25}\quad\Rightarrow\quad m=\pm \frac{i}{5}.

Passo 4

Encontramos raízes complexas conjugadas m=\pm i/5. Agora preciso transformar isso em duas soluções reais independentes. Explico o raciocínio passo a passo e sem pular etapas:
  • Para m=i/5 temos x^{m}=x^{i/5}. Lembre que x^{i/5}=\mathrm{e}^{(i/5)\ln|x|} (uso \ln|x| para poder tratar x<0 separadamente; a função ficará real se formarmos combinações trigonométricas).
  • Pela fórmula de Euler, \mathrm{e}^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. Aplicando com \theta=\tfrac{1}{5}\ln|x| obtemos
x^{i/5}=\cos\!\big(\tfrac{1}{5}\ln|x|\big)+i\sin\!\big(\tfrac{1}{5}\ln|x|\big).
  • As partes real e imaginária dessa expressão são soluções reais da equação linear homogênea (quando as raízes são complexas conjugadas, as combinações reais formam duas soluções independentes). Portanto duas soluções reais independentes são
\cos\!\big(\tfrac{1}{5}\ln|x|\big)\quad\text{e}\quad \sin\!\big(\tfrac{1}{5}\ln|x|\big).

Passo 5

A solução geral da equação diferencial, combinando as duas soluções independentes com constantes arbitrárias C_{1} e C_{2}, é
y(x)=C_{1}\cos\!\big(\tfrac{1}{5}\ln|x|\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{1}{5}\ln|x|\big),
válida para x\neq 0. (Dica rápida: essa forma também pode ser obtida fazendo a mudança de variável t=\ln|x|, que transforma a EDO de Euler-Cauchy em uma EDO com coeficientes constantes; o resultado será equivalente.)

Resposta

y(x)=C_{1}\cos\!\big(\tfrac{1}{5}\ln|x|\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{1}{5}\ln|x|\big)

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