Resolva a EDO
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem
Informações importantes que temos à mão:
- É uma equação linear homogênea de segunda ordem.
- Os coeficientes são funções de
que envolvem potências de ; a equação está bem definida para . - O objetivo é encontrar a solução geral
válida em um intervalo onde .
Passo 2
Vamos tentar uma solução do tipo
, onde
é um número que vamos determinar. Por que essa tentativa? Porque quando os coeficientes são monômios em
(como
e
), essa forma transforma derivadas em potências de
e permite fatorar
, levando a uma equação algébrica para
. Agora calculo as derivadas de
:
Substituo essas expressões na equação original.
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Fatorando
(que para
não é zero) temos
logo o fator entre parênteses deve ser zero. Isso dá a equação característica
Simplificando
, a equação vira
Resolve-se para
:
Passo 4
Encontramos raízes complexas conjugadas
. Agora preciso transformar isso em duas soluções reais independentes. Explico o raciocínio passo a passo e sem pular etapas:
- Para
temos . Lembre que (uso para poder tratar separadamente; a função ficará real se formarmos combinações trigonométricas). - Pela fórmula de Euler,
. Aplicando com obtemos
- As partes real e imaginária dessa expressão são soluções reais da equação linear homogênea (quando as raízes são complexas conjugadas, as combinações reais formam duas soluções independentes). Portanto duas soluções reais independentes são
Passo 5
A solução geral da equação diferencial, combinando as duas soluções independentes com constantes arbitrárias
e
, é
válida para
. (Dica rápida: essa forma também pode ser obtida fazendo a mudança de variável
, que transforma a EDO de Euler-Cauchy em uma EDO com coeficientes constantes; o resultado será equivalente.)