Calcule, usando L’Hospital,
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão é da forma
com e . - Quando
temos e , portanto a forma é , que é uma forma indeterminada. - O enunciado pede explicitamente para usar o método de L’Hospital, então devemos transformar o problema numa razão onde L’Hospital possa ser aplicado.
Passo 2
Truque padrão para limites de potências indeterminadas: tomar o logaritmo natural. Definimos
Tomando o logaritmo natural em ambos os lados (isso é permitido pois
para
),
Agora o objetivo virou calcular
. Depois, se esse limite for
, teremos
. Vou explicar cada passo com calma para você poder reproduzir na prova.
Passo 3
Escrevendo
numa forma adequada para aplicar L’Hospital. Observe que
Quando
temos
(pois
e
) e
. Assim a expressão
é do tipo
, que é um caso em que a regra de L’Hospital pode ser aplicada (forma
, com sinal negativo não alterando a aplicabilidade). Antes de aplicar, lembro a versão simples do teorema:
Teorema de L’Hospital (caso
ou
): se
e
quando
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(com
), então
quando o limite à direita existe (ou é
).
Aqui
e
satisfazem as hipóteses na vizinhança de
.
Passo 4
Aplicando L’Hospital: calculamos as derivadas de numerador e denominador.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Pelo teorema de L’Hospital,
Passo 5
Simplificamos a razão das derivadas cuidadosamente (mostrando cada passo):
Factorizando
foi usado na simplificação. Cancelando um
,
Agora calculamos o limite quando
:
Portanto
Passo 6
Voltando da transformação logarítmica: se
, então pela continuidade da exponencial
Interpretação intuitiva rápida: a potência tende para
porque o expoente vai a zero bastante rápido comparado ao comportamento logarítmico do base sorrateira que vai a zero — o cálculo via L’Hospital quantifica isso.