Encontre a solução do PVI
4 y^{\prime \prime}-y^{\prime}=x \cdot e^{\frac{x}{3}}
y(0)=1 ; y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O que o problema dá e pede:\n
  • Equação diferencial ordinária com condições iniciais: 4\,y''(x)-y'(x)=x\,e^{\frac{x}{3}}
  • Condições iniciais: y(0)=1,\quad y'(0)=0.
  • O que precisamos encontrar: a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.\n
    Essas são todas as informações relevantes do enunciado.

Passo 2

Encontre a solução geral da equação homogênea associada.\n
A homogênea é 4\,y''-y'=0.
Usamos o método de equacionar por raízes: suponha y=e^{r x}. Substituindo obtemos o polinômio característico 4r^2-r=0.
Resolvendo r(4r-1)=0\implies r_1=0,\; r_2=\tfrac{1}{4}.
Portanto a solução geral da homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes: y_h(x)=C_1 + C_2 e^{\frac{x}{4}},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. (Explicação curta: cada raiz r dá uma solução e^{r x}; se r=0 então e^{0\cdot x}=1.)

Passo 3

Escolha do método para a solução particular.\n
O termo à direita é x\,e^{\frac{x}{3}}, que é da forma e^{\alpha x} vezes um polinômio em x de grau 1 (aqui \alpha=\tfrac{1}{3}). Para esse tipo de termo usamos o método dos coeficientes indeterminados: procuramos uma solução particular da forma y_p(x)=e^{\frac{x}{3}}\,p(x),
onde p(x) é um polinômio. O grau de p será o mesmo do polinômio do RHS (grau 1), exceto se e^{\alpha x} for solução da homogênea (ressonância). Verificamos as raízes da homogênea: 0 e \tfrac{1}{4}. Como \alpha=\tfrac{1}{3} não coincide com 0 nem com \tfrac{1}{4}, não há ressonância, então escolhemos p(x) de grau 1: p(x)=A x + B,
com A,B a determinar.

Passo 4

Compute as derivadas de y_p e aplique o operador L[y]=4y''-y'.\n
Se y_p=e^{\alpha x} p(x),
então y_p' = e^{\alpha x}(\alpha p + p'),\qquad y_p''= e^{\alpha x}(\alpha^2 p + 2\alpha p' + p'').
Substituindo em L[y_p]=4y_p''-y_p' dá (fatorando e^{\alpha x}): L[y_p]= e^{\alpha x}\Big[(4\alpha^2-\alpha)p + (8\alpha-1)p' + 4 p''\Big].
Neste problema \alpha=\tfrac{1}{3}. Calculemos os coeficientes numéricos: 4\alpha^2-\alpha = 4\!\left(\tfrac{1}{3}\right)^2-\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{9}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{9},
8\alpha-1 = 8\!\left(\tfrac{1}{3}\right)-1=\tfrac{8}{3}-1=\tfrac{5}{3}.
Logo neste caso L[y_p]= e^{\frac{x}{3}}\Big[\tfrac{1}{9}\,p(x)+\tfrac{5}{3}\,p'(x)+4\,p''(x)\Big].

Passo 5

Substitua p(x)=A x + B e iguale ao RHS x e^{x/3} para determinar A e B.\n
Para p(x)=A x + B temos p'(x)=A e p''(x)=0. Então o interior fica: \tfrac{1}{9}(A x + B) + \tfrac{5}{3}A + 4\cdot 0 = \tfrac{A}{9} x + \Big(\tfrac{B}{9}+\tfrac{5A}{3}\Big).
Assim L[y_p]= e^{\frac{x}{3}}\Big(\tfrac{A}{9} x + \tfrac{B}{9}+\tfrac{5A}{3}\Big).
Queremos L[y_p]=x e^{\frac{x}{3}}. Igualando coeficientes do polinômio multiplicando e^{x/3}: \text{coef. de }x:\quad \tfrac{A}{9}=1 \implies A=9,
\text{termo constante}:\quad \tfrac{B}{9}+\tfrac{5A}{3}=0.
Substituindo A=9 na segunda equação: \tfrac{B}{9}+\tfrac{5\cdot 9}{3}=0 \implies \tfrac{B}{9}+15=0 \implies B=-135.

Passo 6

Escreva a solução particular encontrada e verifique a forma da derivada para usar nas condições iniciais.\n
Com A=9 e B=-135 obtemos y_p(x)=(9x-135)\,e^{\frac{x}{3}}.
Calculemos sua derivada (útil para as condições iniciais): y_p'(x)=\frac{d}{dx}\big[(9x-135)e^{\frac{x}{3}}\big] = e^{\frac{x}{3}}\Big(9 + \frac{9x-135}{3}\Big) = e^{\frac{x}{3}}\big(3x-36\big) =3(x-12)e^{\frac{x}{3}}.

Passo 7

Forme a solução geral da equação não-homogênea e aplique as condições iniciais para encontrar C_1 e C_2.\n
A solução geral é soma da homogênea com a particular: y(x)=C_1 + C_2 e^{\frac{x}{4}} + (9x-135)e^{\frac{x}{3}}.
Avalie y(0): y(0)=C_1 + C_2 + (9\cdot 0 -135)\cdot 1 = C_1 + C_2 -135.
Pela condição y(0)=1 segue C_1 + C_2 -135 = 1 \implies C_1 + C_2 =136.
Agora a derivada geral: usando y_p' do passo anterior e derivada de C_2 e^{x/4} que é \tfrac{C_2}{4}e^{x/4}, temos y'(x)= \tfrac{C_2}{4} e^{\frac{x}{4}} + 3(x-12)e^{\frac{x}{3}}.
Avalie em x=0: y'(0)=\tfrac{C_2}{4}\cdot 1 + 3(0-12)\cdot 1 = \tfrac{C_2}{4} -36.
Pela condição y'(0)=0 vem \tfrac{C_2}{4}-36=0 \implies C_2=144.
Então C_1=136-C_2=136-144=-8.

Passo 8

Escreva a solução final com as constantes determinadas.\n
Substituindo C_1=-8 e C_2=144 na solução geral, obtemos a solução do PVI: y(x)=-8 + 144\,e^{\frac{x}{4}} + (9x-135)\,e^{\frac{x}{3}}.

Resposta

y(x)=-8 + 144\,e^{\frac{x}{4}} + (9x-135)\,e^{\frac{x}{3}}

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