Encontre a solução do PVI
Passo 1
O que o problema dá e pede:\n
- Equação diferencial ordinária com condições iniciais:
- Condições iniciais:
- O que precisamos encontrar: a solução
que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.\n
Essas são todas as informações relevantes do enunciado.
Passo 2
Encontre a solução geral da equação homogênea associada.\n
A homogênea é
Usamos o método de equacionar por raízes: suponha
. Substituindo obtemos o polinômio característico
Resolvendo
Portanto a solução geral da homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias. (Explicação curta: cada raiz
dá uma solução
; se
então
.)
Passo 3
Escolha do método para a solução particular.\n
O termo à direita é
, que é da forma
vezes um polinômio em
de grau
(aqui
). Para esse tipo de termo usamos o método dos coeficientes indeterminados: procuramos uma solução particular da forma
onde
é um polinômio. O grau de
será o mesmo do polinômio do RHS (grau
), exceto se
for solução da homogênea (ressonância). Verificamos as raízes da homogênea:
e
. Como
não coincide com
nem com
, não há ressonância, então escolhemos
de grau
:
com
a determinar.
Passo 4
Compute as derivadas de
e aplique o operador
.\n
Se
então
Substituindo em
dá (fatorando
):
Neste problema
. Calculemos os coeficientes numéricos:
Logo neste caso
Passo 5
Substitua
e iguale ao RHS
para determinar
e
.\n
Para
temos
e
. Então o interior fica:
Assim
Queremos
. Igualando coeficientes do polinômio multiplicando
:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 6
Escreva a solução particular encontrada e verifique a forma da derivada para usar nas condições iniciais.\n
Com
e
obtemos
Calculemos sua derivada (útil para as condições iniciais):
Passo 7
Forme a solução geral da equação não-homogênea e aplique as condições iniciais para encontrar
e
.\n
A solução geral é soma da homogênea com a particular:
Avalie
:
Pela condição
segue
Agora a derivada geral: usando
do passo anterior e derivada de
que é
, temos
Avalie em
:
Pela condição
vem
Então
.
Passo 8
Escreva a solução final com as constantes determinadas.\n
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução do PVI: