Resolva as EDO:
2 x^{2} y^{\prime}=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2 x^{2} y' = x^{2} + y^{2}
e pede que a resolvamos, isto é, que encontremos a função y(x) que satisfaz essa relação. Informações e observações imediatas fornecidas pelo enunciado:
  • A equação envolve y', portanto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.
  • Há fatores x^{2} no denominador se isolarmos y', então devemos ter x\neq 0 no domínio das soluções que manipularem essa forma.
  • O que se pede: obter a solução geral y(x) (ou soluções particulares que surjam da análise).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: isolar y'. Dividindo ambos os lados por 2x^{2} (lembrando x\neq 0) obtemos
y' = \frac{x^{2} + y^{2}}{2 x^{2}}.
Reescrevendo a fração, fica mais claro o que depende de y/x:
y' = \frac{1}{2} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}.
É útil notar que o lado direito depende de y apenas através da razão y/x (pois aparece \frac{y^{2}}{x^{2}}). Isso sugere a substituição padrão para equações homogêneas: propor y = v x, onde v é função de x. Vou explicar essa substituição no próximo passo.

Passo 3

Explicando a ideia da substituição y = v x: quando a expressão para y' pode ser escrita em termos de \frac{y}{x}, definir v=\frac{y}{x} reduz a equação a uma para v(x) que normalmente é separável. Aqui tomamos
y = v x.
Derivando em relação a x (regra do produto), obtemos
y' = v + x \frac{dv}{dx}.
Agora vamos substituir y e y' na equação original.

Passo 4

Substituindo y=vx e y'=v+xv' (escrevo v'=\frac{dv}{dx}) na equação isolada y' = \frac{1}{2} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}:
v + x v' = \frac{1}{2} + \frac{(v x)^{2}}{2 x^{2}}.
Simplificando o termo com x,
v + x v' = \frac{1}{2} + \frac{v^{2}}{2}.

Passo 5

Isolamos x v':
x v' = \frac{1}{2} + \frac{v^{2}}{2} - v.
Colocando tudo sobre um denominador comum 2:
x v' = \frac{1 + v^{2} - 2v}{2}.
O numerador é um quadrado perfeito: 1 + v^{2} - 2v = (v-1)^{2}. Portanto
x v' = \frac{(v-1)^{2}}{2}.
Isolando v',
\frac{dv}{dx} = \frac{(v-1)^{2}}{2x}.

Passo 6

Agora temos uma equação para v(x) que é separável. Podemos escrever
\frac{dv}{(v-1)^{2}} = \frac{dx}{2x}.
Aqui é importante notar que esta manipulação exige v\neq 1 no lado em que dividimos por (v-1)^{2}; trataremos a possibilidade v\equiv 1 separadamente (ela corresponde a y=x).

Passo 7

Integramos ambos os lados. Primeiro o lado esquerdo:
\int \frac{dv}{(v-1)^{2}} = \int (v-1)^{-2}\,dv.
A primitiva de (v-1)^{-2} é -(v-1)^{-1}, pois \frac{d}{dv}\big(-(v-1)^{-1}\big) = (v-1)^{-2}. Então
\int \frac{dv}{(v-1)^{2}} = -\frac{1}{v-1} + C_{1}.
No lado direito:
\int \frac{dx}{2x} = \frac{1}{2}\ln|x| + C_{2}.
Juntando as integrais (absorvendo constantes em uma só constante C) obtemos
- \frac{1}{v-1} = \frac{1}{2}\ln|x| + C.

Passo 8

Isolamos v. Primeiro invertendo sinais e reorganizando:
\frac{1}{v-1} = -\frac{1}{2}\ln|x| - C.
Definindo uma nova constante arbitrária C_{0} = -C, escrevemos
\frac{1}{v-1} = C_{0} - \frac{1}{2}\ln|x|.
Agora invertendo:
v-1 = \frac{1}{C_{0} - \frac{1}{2}\ln|x|}.
Portanto
v = 1 + \frac{1}{C_{0} - \frac{1}{2}\ln|x|}.

Passo 9

Voltando à variável original y, lembrando v=\frac{y}{x}, temos
\frac{y}{x} = 1 + \frac{1}{C_{0} - \frac{1}{2}\ln|x|}.
Multiplicando por x,
y = x\left(1 + \frac{1}{C_{0} - \frac{1}{2}\ln|x|}\right).
Podemos simplificar a constante para uma forma mais agradável: multiplicando numerador e denominador da fração por 2 e definindo C=2C_{0}, obtemos
y = x\left(1 + \frac{2}{C - \ln|x|}\right).
Esta é a família geral de soluções obtida pela integração (válida para x\neq 0 e para parâmetros que não anulem o denominador).

Passo 10

Não esquecer a solução singular que foi excluída ao dividir por (v-1)^{2}: se v\equiv 1 então y = x. Verificamos diretamente na equação original:
2x^{2}\frac{d}{dx}(x) = 2x^{2}\cdot 1 = 2x^{2},
enquanto o lado direito é x^{2}+x^{2}=2x^{2}. Logo y=x é solução válida. Note que essa solução corresponde ao caso v=1 constante, e não aparece na solução obtida pela separação (porque dessa separação dividimos por (v-1)^{2}).

Resposta

y = x\left(1 + \dfrac{2}{C - \ln|x|}\right), com C constante arbitrária, x\neq 0\n
y = x

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