Resolva as EDO:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a resolvamos, isto é, que encontremos a função
que satisfaz essa relação. Informações e observações imediatas fornecidas pelo enunciado:
- A equação envolve
, portanto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. - Há fatores
no denominador se isolarmos , então devemos ter no domínio das soluções que manipularem essa forma. - O que se pede: obter a solução geral
(ou soluções particulares que surjam da análise).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: isolar
. Dividindo ambos os lados por
(lembrando
) obtemos
Reescrevendo a fração, fica mais claro o que depende de
:
É útil notar que o lado direito depende de
apenas através da razão
(pois aparece
). Isso sugere a substituição padrão para equações homogêneas: propor
, onde
é função de
. Vou explicar essa substituição no próximo passo.
Passo 3
Explicando a ideia da substituição
: quando a expressão para
pode ser escrita em termos de
, definir
reduz a equação a uma para
que normalmente é separável. Aqui tomamos
Derivando em relação a
(regra do produto), obtemos
Agora vamos substituir
e
na equação original.
Passo 4
Substituindo
e
(escrevo
) na equação isolada
:
Simplificando o termo com
,
Passo 5
Isolamos
:
Colocando tudo sobre um denominador comum
:
O numerador é um quadrado perfeito:
. Portanto
Isolando
,
Passo 6
Agora temos uma equação para
que é separável. Podemos escrever
Aqui é importante notar que esta manipulação exige
no lado em que dividimos por
; trataremos a possibilidade
separadamente (ela corresponde a
).
Passo 7
Integramos ambos os lados. Primeiro o lado esquerdo:
A primitiva de
é
, pois
. Então
No lado direito:
Juntando as integrais (absorvendo constantes em uma só constante
) obtemos
Passo 8
Isolamos
. Primeiro invertendo sinais e reorganizando:
Definindo uma nova constante arbitrária
, escrevemos
Agora invertendo:
Portanto
Passo 9
Voltando à variável original
, lembrando
, temos
Multiplicando por
,
Podemos simplificar a constante para uma forma mais agradável: multiplicando numerador e denominador da fração por
e definindo
, obtemos
Esta é a família geral de soluções obtida pela integração (válida para
e para parâmetros que não anulem o denominador).
Passo 10
Não esquecer a solução singular que foi excluída ao dividir por
: se
então
. Verificamos diretamente na equação original:
enquanto o lado direito é
. Logo
é solução válida. Note que essa solução corresponde ao caso
constante, e não aparece na solução obtida pela separação (porque dessa separação dividimos por
).