Resolva as EDO:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
Informações dadas:
- A incógnita é
função de . - A equação envolve
(derivada de em relação a ), termos proporcionais a e a . - Há um coeficiente
, portanto a equação está bem definida para . - Precisamos encontrar a solução geral
(ou soluções gerais), com constante(s) arbitrária(s).
Passo 2
Observação sobre a forma da equação e estratégia (aqui eu explico a técnica que vou usar, passo a passo e didaticamente).
A equação tem a forma
A equação tem a forma
com
,
e
. Para esse tipo de equação existe uma substituição padrão que transforma num problema linear: definimos
Vou mostrar por que essa substituição funciona (aqui é uma pequena aula): suponha que
. Derivando em relação a
,
Isolando
obtemos
Se você substituir isso na equação original, os termos em
se cancelam e sobra uma equação linear em
. É por isso que essa substituição é tão útil: transforma a Bernoulli (não linear) numa linear.
Passo 3
Aplicando a substituição ao caso concreto: como
, temos
Agora calculo
. Derivando
,
Reescrevendo,
Vou substituir isso na equação original.
Passo 4
Substituição na equação original:
a equação original é
a equação original é
Substituo
:
Agora divido toda a equação por
(isso é válido enquanto
; trataremos
separadamente):
Como
, isso fica
Multiplicando por
,
Pronto: agora temos uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 5
Resolver a equação linear para
:
Para uma equação linear da forma
usamos o fator integrante
. Aqui
, então
Como estamos trabalhando em intervalos onde
, podemos tomar
(escolha de sinal absorvida na constante de integração depois). Multiplico a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. De fato,
Portanto a equação vira
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é constante arbitrária. Multiplicando por
,
Passo 7
Volto à variável original
. Lembre que
. Logo
Isolando
,
Observações importantes (didáticas e úteis na prova):
- A solução acima foi obtida assumindo
nas manipulações (dividi por ). Há também a solução trivial que satisfaz a equação original: substituindo obtemos , logo é solução. - O domínio natural das soluções exclui
por causa do termo e também exclui pontos onde (pois aí explode). - A constante
é determinada por uma condição inicial, se houver uma dada.
Passo 8
Pequeno exemplo de verificação rápida (útil para prova): se escolher
e
tal que
, então
. Você pode derivar essa expressão (com regra do quociente ou produto) e substituir na equação original para checar que a identidade se mantém — a verificação é um pouco extensa, mas funciona e confirma o procedimento acima.