Resolva as EDO:
y^{\prime}+\frac{2 y}{x}=-y^{2} x^{2} \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
y^{\prime}+\frac{2y}{x}=-y^{2}x^{2}\cos(x).
Informações dadas:
  • A incógnita é y função de x.
  • A equação envolve y' (derivada de y em relação a x), termos proporcionais a y e a y^{2}.
  • Há um coeficiente \frac{2}{x}, portanto a equação está bem definida para x\neq 0.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(x) (ou soluções gerais), com constante(s) arbitrária(s).

Passo 2

Observação sobre a forma da equação e estratégia (aqui eu explico a técnica que vou usar, passo a passo e didaticamente).
A equação tem a forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
com P(x)=\dfrac{2}{x}, Q(x)=-x^{2}\cos(x) e n=2. Para esse tipo de equação existe uma substituição padrão que transforma num problema linear: definimos
z = y^{1-n}.
Vou mostrar por que essa substituição funciona (aqui é uma pequena aula): suponha que z=y^{1-n}. Derivando em relação a x,
z' = (1-n)\,y^{-n}\,y'.
Isolando y' obtemos
y' = \frac{z'}{1-n}\,y^{n}.
Se você substituir isso na equação original, os termos em y^{n} se cancelam e sobra uma equação linear em z. É por isso que essa substituição é tão útil: transforma a Bernoulli (não linear) numa linear.

Passo 3

Aplicando a substituição ao caso concreto: como n=2, temos
z = y^{1-2} = y^{-1}=\frac{1}{y}.
Agora calculo z'. Derivando z=\dfrac{1}{y},
z' = -\frac{1}{y^{2}}\,y'.
Reescrevendo,
y' = -y^{2} z'.
Vou substituir isso na equação original.

Passo 4

Substituição na equação original:
a equação original é
y' + \frac{2y}{x} = -y^{2}x^{2}\cos(x).
Substituo y' = -y^{2} z':
- y^{2} z' + \frac{2y}{x} = -y^{2}x^{2}\cos(x).
Agora divido toda a equação por y^{2} (isso é válido enquanto y\neq 0; trataremos y\equiv 0 separadamente):
- z' + \frac{2}{x}\frac{y}{y^{2}} = -x^{2}\cos(x).
Como \dfrac{y}{y^{2}}=\dfrac{1}{y}=z, isso fica
- z' + \frac{2}{x} z = -x^{2}\cos(x).
Multiplicando por -1,
z' - \frac{2}{x} z = x^{2}\cos(x).
Pronto: agora temos uma equação linear de primeira ordem para z.

Passo 5

Resolver a equação linear para z:
z' - \frac{2}{x} z = x^{2}\cos(x).
Para uma equação linear da forma z' + p(x) z = r(x) usamos o fator integrante \mu(x)=\exp\!\big(\int p(x)\,dx\big). Aqui p(x)=-\dfrac{2}{x}, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{2}{x}\,dx\right)=\exp(-2\ln|x|)=|x|^{-2}.
Como estamos trabalhando em intervalos onde x\neq 0, podemos tomar \mu(x)=x^{-2} (escolha de sinal absorvida na constante de integração depois). Multiplico a equação por x^{-2}:
x^{-2} z' - 2x^{-3} z = \cos(x).
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{-2} z. De fato,
\frac{d}{dx}\big(x^{-2} z\big) = x^{-2} z' + z\cdot\frac{d}{dx}(x^{-2}) = x^{-2} z' -2x^{-3} z.
Portanto a equação vira
\frac{d}{dx}\big(x^{-2} z\big) = \cos(x).

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a x:
x^{-2} z = \int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C,
onde C é constante arbitrária. Multiplicando por x^{2},
z = x^{2}\big(\sin(x) + C\big).

Passo 7

Volto à variável original y. Lembre que z=\dfrac{1}{y}. Logo
\frac{1}{y} = x^{2}\big(\sin(x) + C\big).
Isolando y,
y(x) = \frac{1}{x^{2}\big(\sin(x) + C\big)}.
Observações importantes (didáticas e úteis na prova):
  • A solução acima foi obtida assumindo y\neq 0 nas manipulações (dividi por y^{2}). Há também a solução trivial y\equiv 0 que satisfaz a equação original: substituindo y=0 obtemos 0+0=0, logo é solução.
  • O domínio natural das soluções exclui x=0 por causa do termo \dfrac{2}{x} e também exclui pontos onde \sin(x)+C=0 (pois aí y explode).
  • A constante C é determinada por uma condição inicial, se houver uma dada.

Passo 8

Pequeno exemplo de verificação rápida (útil para prova): se escolher C=0 e x tal que \sin(x)\neq 0, então y=\dfrac{1}{x^{2}\sin(x)}. Você pode derivar essa expressão (com regra do quociente ou produto) e substituir na equação original para checar que a identidade se mantém — a verificação é um pouco extensa, mas funciona e confirma o procedimento acima.

Resposta

y\equiv 0\n y(x)=\dfrac{1}{x^{2}\big(\sin(x)+C\big)},\quad C\in\mathbb{R},\\ x\neq 0,\\ \sin(x)+C\neq 0

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