Resolva as EDO:
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária
Informações dadas e observações iniciais:
A incógnita é a função
. Não há condição inicial fornecida. Note que se
então a equação é satisfeita, pois
. Portanto
é uma solução particular que devemos mencionar depois (ela foi excluída se dividirmos por potências de
).
Passo 2
Reconhecendo o tipo da equação e a estratégia:
A equação tem a forma
A equação tem a forma
com
,
e
. Essa é a forma padrão da equação de Bernoulli. A técnica padrão para Bernoulli é usar a substituição
Aqui
, então definimos
A razão dessa substituição é transformar a equação não linear em uma equação linear para
. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Calculando a derivada de
em função de
e
:
Derivando ambos os lados em relação a
,
Isolamos
porque ele vai aparecer ao dividir a equação original por
:
Passo 4
Dividindo a equação original por
(observando que isso só é válido quando
; lembramos que
já é solução):
Dividindo
Dividindo
por
obtemos
Agora substituímos
e
. Assim
Passo 5
Multiplicando a última expressão por
para simplificar:
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para
:
Passo 6
Resolver a equação linear pelo fator integrante. A forma padrão é
com
e
. O fator integrante é
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é,
Passo 7
Integramos em
:
onde
é constante de integração. Portanto
Vou renomear a constante para ficar claro:
é uma constante arbitrária real.
Passo 8
Voltando à variável original
. Lembre que
, então
Invertendo a potência:
Tomando a raiz cúbica (potência
) obtemos a solução geral (para
):
Também é comum escrever isolando o expoente de
:
Devemos lembrar que o ramo da raiz cúbica em reais permite sinais (a raiz cúbica de número negativo é negativa), então essa expressão cobre soluções reais desde que o denominador não seja zero. O caso
gera singularidade (vertical) da solução.
Passo 9
Recapitulando e incluindo a solução particular excluída pela divisão:
- A solução identicamente nula
é solução da equação original. - A família de soluções não nulas é dada por
com
constante arbitrária.