Resolva as EDO:
y^{\prime}+\frac{1}{3} y=e^{x} y^{4}

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária
y^{\prime}+\frac{1}{3}y=e^{x}y^{4}.
Informações dadas e observações iniciais:
\text{Equação: }y^{\prime}+\frac{1}{3}y=e^{x}y^{4}.çã
A incógnita é a função y(x). Não há condição inicial fornecida. Note que se y\equiv 0 então a equação é satisfeita, pois 0+(1/3)\cdot 0 = e^{x}\cdot 0. Portanto y\equiv 0 é uma solução particular que devemos mencionar depois (ela foi excluída se dividirmos por potências de y).

Passo 2

Reconhecendo o tipo da equação e a estratégia:
A equação tem a forma
y^{\prime}+P(x)y=Q(x)y^{n},
com P(x)=\tfrac{1}{3}, Q(x)=e^{x} e n=4. Essa é a forma padrão da equação de Bernoulli. A técnica padrão para Bernoulli é usar a substituição
u=y^{1-n}.
Aqui 1-n=1-4=-3, então definimos
u=y^{-3}.
A razão dessa substituição é transformar a equação não linear em uma equação linear para u. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Calculando a derivada de u em função de y e y^{\prime}:
u=y^{-3}.
Derivando ambos os lados em relação a x,
u^{\prime} = \frac{d}{dx}\big(y^{-3}\big) = -3y^{-4}y^{\prime}.
Isolamos y^{-4}y^{\prime} porque ele vai aparecer ao dividir a equação original por y^{4}:
y^{-4}y^{\prime} = -\frac{1}{3}u^{\prime}.

Passo 4

Dividindo a equação original por y^{4} (observando que isso só é válido quando y\neq 0; lembramos que y\equiv 0 já é solução):
Dividindo
y^{\prime}+\frac{1}{3}y=e^{x}y^{4}
por y^{4} obtemos
y^{-4}y^{\prime}+\frac{1}{3}y^{-3}=e^{x}.
Agora substituímos y^{-4}y^{\prime}=-\tfrac{1}{3}u^{\prime} e y^{-3}=u. Assim
-\tfrac{1}{3}u^{\prime}+\tfrac{1}{3}u = e^{x}.

Passo 5

Multiplicando a última expressão por -3 para simplificar:
u^{\prime}-u = -3e^{x}.
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para u(x):
u^{\prime}-u=-3e^{x}.

Passo 6

Resolver a equação linear pelo fator integrante. A forma padrão é u^{\prime}+a(x)u=b(x) com a(x)=-1 e b(x)=-3e^{x}. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\big(\int a(x)\,dx\big)=\exp\!\big(\int -1\,dx\big)=e^{-x}.
Multiplicamos a equação por \mu(x):
e^{-x}u^{\prime}-e^{-x}u = -3.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{-x}u, isto é,
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}u\big) = -3.

Passo 7

Integramos em x:
e^{-x}u = \int -3\,dx = -3x + C,
onde C é constante de integração. Portanto
u = e^{x}(-3x + C) = e^{x}(C-3x).
Vou renomear a constante para ficar claro: C é uma constante arbitrária real.

Passo 8

Voltando à variável original y. Lembre que u=y^{-3}, então
y^{-3} = e^{x}(C-3x).
Invertendo a potência:
y^{3} = \frac{1}{e^{x}(C-3x)}.
Tomando a raiz cúbica (potência 1/3) obtemos a solução geral (para y\neq 0):
y = \big(e^{x}(C-3x)\big)^{-1/3}.
Também é comum escrever isolando o expoente de e:
y = e^{-x/3}\,(C-3x)^{-1/3}.
Devemos lembrar que o ramo da raiz cúbica em reais permite sinais (a raiz cúbica de número negativo é negativa), então essa expressão cobre soluções reais desde que o denominador não seja zero. O caso C-3x=0 gera singularidade (vertical) da solução.

Passo 9

Recapitulando e incluindo a solução particular excluída pela divisão:
  • A solução identicamente nula y\equiv 0 é solução da equação original.
  • A família de soluções não nulas é dada por
y(x)=\big(e^{x}(C-3x)\big)^{-1/3},
com C constante arbitrária.

Resposta

y\equiv 0\n y(x)=\big(e^{x}(C-3x)\big)^{-1/3},\;C constante.

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