Resolva a EDO
x^{2} y^{\prime \prime}-7 x y^{\prime}+41 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem
x^{2}y''-7xy'+41y=0,
e pede para resolver essa EDO, isto é, encontrar a família geral de soluções y(x). As informações relevantes que temos são: a equação é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes que dependem de x através de potências de x (observe os fatores x^{2} e x). Não há condições iniciais fornecidas, então devemos apresentar a solução geral com duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Motivação do método escolhido: quando uma EDO tem coeficientes que são potências de x multiplicando as derivadas (como x^{2}y'' e xy'), uma tentativa natural é procurar soluções do tipo potência
y(x)=x^{r},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Vou explicar por que isso faz sentido e depois aplicar a ideia passo a passo.

Passo 3

Calcule as derivadas de y(x)=x^{r}. Usando regras básicas de derivação:
y'(x)=r x^{r-1},
y''(x)=r(r-1)x^{r-2}.
Aqui r é a incógnita (um número que vamos achar) e x^{r} é a função candidata.

Passo 4

Substitua y, y' e y'' na equação original:
x^{2}\bigl(r(r-1)x^{r-2}\bigr)-7x\bigl(r x^{r-1}\bigr)+41\bigl(x^{r}\bigr)=0.
Simplificando fator comum x^{r} (assumindo x\neq 0):
\bigl[r(r-1)-7r+41\bigr]x^{r}=0.
Como x^{r} não é identicamente zero, o coeficiente entre colchetes deve ser zero. Isso fornece a equação algébrica (característica) para r:
r(r-1)-7r+41=0.

Passo 5

Simplifique a equação característica:
r^{2}-r-7r+41=0\quad\Rightarrow\quad r^{2}-8r+41=0.
Agora resolvemos a quadrática. O discriminante é
\Delta = (-8)^{2}-4\cdot 1\cdot 41 = 64-164 = -100.
Como \Delta<0, as raízes são complexas:
r=\frac{8\pm\sqrt{-100}}{2}=\frac{8\pm 10i}{2}=4\pm 5i.
Chamando \alpha=4 e \beta=5, temos r=\alpha\pm i\beta.

Passo 6

Interpretação das raízes complexas e construção da solução real geral. Quando a equação característica de uma tentativa x^{r} tem raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta, as duas soluções independentes complexas correspondentes são x^{\alpha\pm i\beta}. Usando exponencial e trigonometria complexa:
x^{\alpha\pm i\beta}=x^{\alpha}x^{\pm i\beta}=x^{\alpha}e^{\pm i\beta\ln x} =x^{\alpha}\bigl(\cos(\beta\ln x)\pm i\sin(\beta\ln x)\bigr).
Assim, duas soluções reais independentes são
x^{\alpha}\cos(\beta\ln x)\quad\text{e}\quad x^{\alpha}\sin(\beta\ln x).
Portanto a solução geral real (com constantes arbitrárias C_{1},C_{2}) é
y(x)=x^{\alpha}\bigl(C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\bigr).
Substituindo \alpha=4 e \beta=5 obtemos a solução do caso.

Passo 7

(Complemento didático — transformação alternativa) Uma maneira alternativa e muito didática de ver o mesmo resultado é fazer a mudança de variável t=\ln x (válida para x>0). Defina u(t)=y(e^{t}). As derivadas transformam-se assim:
y'=\frac{1}{x}u'(t),\qquad y''=\frac{1}{x^{2}}\bigl(u''(t)-u'(t)\bigr).
Substituindo na EDO original:
x^{2}\frac{1}{x^{2}}\bigl(u''-u'\bigr)-7x\frac{1}{x}u'+41u=0,
que simplifica para a EDO de coeficientes constantes
u''-8u'+41u=0.
A equação característica desta é \lambda^{2}-8\lambda+41=0, cujas raízes são \lambda=4\pm 5i. Logo
u(t)=e^{4t}\bigl(C_{1}\cos(5t)+C_{2}\sin(5t)\bigr).
Voltando a x com t=\ln x:
y(x)=x^{4}\bigl(C_{1}\cos(5\ln x)+C_{2}\sin(5\ln x)\bigr),
que coincide com o resultado anterior. Observação: essa solução está escrita para x>0; para trabalhar em x<0 seria necessário tratar cuidadosamente ramos do logaritmo e potências complexas.

Passo 8

Resumo dos conceitos usados (bem mastigado):
  • A ideia de tentar y=x^{r} funciona quando os coeficientes da EDO são monômios em x que permitem fatorar x^{r} e reduzir para uma equação algébrica em r.
  • Ao obter raízes complexas \alpha\pm i\beta, transformamos x^{\alpha\pm i\beta} em x^{\alpha}e^{\pm i\beta\ln x} e extraímos as partes real e imaginária para obter duas soluções reais independentes x^{\alpha}\cos(\beta\ln x) e x^{\alpha}\sin(\beta\ln x).
  • Constantes C_{1},C_{2} são arbitrárias porque a EDO é linear e de segunda ordem.

Resposta

y(x)=x^{4}\bigl(C_{1}\cos(5\ln x)+C_{2}\sin(5\ln x)\bigr)

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