Resolva a EDO
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem
e pede para resolver essa EDO, isto é, encontrar a família geral de soluções
. As informações relevantes que temos são: a equação é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes que dependem de
através de potências de
(observe os fatores
e
). Não há condições iniciais fornecidas, então devemos apresentar a solução geral com duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Motivação do método escolhido: quando uma EDO tem coeficientes que são potências de
multiplicando as derivadas (como
e
), uma tentativa natural é procurar soluções do tipo potência
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Vou explicar por que isso faz sentido e depois aplicar a ideia passo a passo.
Passo 3
Calcule as derivadas de
. Usando regras básicas de derivação:
Aqui
é a incógnita (um número que vamos achar) e
é a função candidata.
Passo 4
Substitua
,
e
na equação original:
Simplificando fator comum
(assumindo
):
Como
não é identicamente zero, o coeficiente entre colchetes deve ser zero. Isso fornece a equação algébrica (característica) para
:
Passo 5
Simplifique a equação característica:
Agora resolvemos a quadrática. O discriminante é
Como
, as raízes são complexas:
Chamando
e
, temos
.
Passo 6
Interpretação das raízes complexas e construção da solução real geral. Quando a equação característica de uma tentativa
tem raízes complexas conjugadas
, as duas soluções independentes complexas correspondentes são
. Usando exponencial e trigonometria complexa:
Assim, duas soluções reais independentes são
Portanto a solução geral real (com constantes arbitrárias
) é
Substituindo
e
obtemos a solução do caso.
Passo 7
(Complemento didático — transformação alternativa) Uma maneira alternativa e muito didática de ver o mesmo resultado é fazer a mudança de variável
(válida para
). Defina
. As derivadas transformam-se assim:
Substituindo na EDO original:
que simplifica para a EDO de coeficientes constantes
A equação característica desta é
, cujas raízes são
. Logo
Voltando a
com
:
que coincide com o resultado anterior. Observação: essa solução está escrita para
; para trabalhar em
seria necessário tratar cuidadosamente ramos do logaritmo e potências complexas.
Passo 8
Resumo dos conceitos usados (bem mastigado):
- A ideia de tentar
funciona quando os coeficientes da EDO são monômios em que permitem fatorar e reduzir para uma equação algébrica em . - Ao obter raízes complexas
, transformamos em e extraímos as partes real e imaginária para obter duas soluções reais independentes e . - Constantes
são arbitrárias porque a EDO é linear e de segunda ordem.