Um evaporador simples concentra
de uma solução de suco de laranja a 20 oC com
(em massa) de sólidos até
. Para que a temperatura de ebulição seja baixa, mantém-se no evaporador uma pressão igual a 14 kPa . O coeficiente global de transferência de calor é
e o fluido de aquecimento é vapor de água saturado a 2 bar.
a) Calcule a área de transferência de calor
b) Determine a vazão de vapor de aquecimento
c) Obtenha a capacidade e a economia do evaporador
d) A equação empírica de Capriste e Lozano [J. of Food Science, 53 (3): 865 (1988)] exprime a elevação da temperatura de ebulição de uma solução em função da pressão total p e da concentração de sólidos.
Onde:
é a fração mássica de sólidos, p é a pressão de operação em kPa e
são constantes características da solução que, para o caso do suco de laranja, são:
-
-
-
-
Entrando com o efeito da elevação de temperatura de ebulição para a solução mais concentrada, calcule a área de transferência de calor e a vazão do vapor de aquecimento.
a) Calcule a área de transferência de calor
b) Determine a vazão de vapor de aquecimento
c) Obtenha a capacidade e a economia do evaporador
d) A equação empírica de Capriste e Lozano [J. of Food Science, 53 (3): 865 (1988)] exprime a elevação da temperatura de ebulição de uma solução em função da pressão total p e da concentração de sólidos.
Passo 1
O enunciado pede que, para um evaporador simples, você calcule:
- (a) a área de transferência de calor,
- (b) a vazão de vapor de aquecimento,
- (c) a capacidade e a economia do evaporador,
- (d) considerando a elevação da temperatura de ebulição pela expressão empírica dada, recalcular a área e a vazão de vapor.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado dá):
- Vazão de alimentação:
. - Temperatura de alimentação:
(informação de entrada, útil para entender que o líquido entra frio, mas o que importa para o balanço de calor é a vaporação). - Fração mássica de sólidos na alimentação:
. - Fração mássica de sólidos no produto concentrado:
. - Pressão de operação no interior do evaporador:
. - Coeficiente global de transferência de calor:
. - Fluido de aquecimento: vapor saturado a
(vou usar a temperatura de saturação desse vapor e seu calor latente). - Equação empírica para elevação da temperatura de ebulição (Capriste & Lozano) para suco de laranja:
com
,
,
,
. Aqui
é a fração mássica de sólidos e
é a pressão em kPa.
Observação importante (para os cálculos): vou usar temperaturas de saturação aproximadas de tabelas de vapor:
- Temperatura de saturação do vapor a
: . - Temperatura de ebulição da água pura à pressão de operação
: .
Esses valores vêm de tabelas de vapor; uso aproximações numéricas razoáveis e explicarei como eles entram nas contas.
A resolução começa agora.
Passo 2
Balanceamento de massa (conceito): num evaporador sem reações, a quantidade de sólidos não muda. Assim primeiro encontro as vazões de produto e de vapor gerado.
Cálculo da massa de sólidos (constante):
Vazão do produto concentrado
(já que
):
Vazão de água evaporada
(ou vazão de vapor gerado no evaporador, massa do solvente removida):
Interpretação didática rápida: o evaporador está removendo
de água — essa é a “capacidade de evaporação” do equipamento. Guardamos esse número para usar no balanço de energia.
Passo 3
Energia necessária para evaporar a água (ideia): cada kg de água que evapora precisa do calor latente à temperatura de ebulição da solução. Logo o fluxo de calor total requerido é
onde
é o calor latente de vaporização da água à temperatura de ebulição do líquido (em kJ/kg) e
em kg/s.
Como não foi dada diretamente a
, uso uma aproximação prática e simples (frequentemente usada em exercícios): uma expressão linear aproximada entre
e a temperatura
(em ºC)
baseada nos valores conhecidos em 0 ºC e na variação típica com a temperatura. Vou usar essa fórmula para estimar
.
Conversões e valores:
Sem considerar elevação de ebulição (parte inicial a–c): tomo a temperatura de ebulição do líquido igual à temperatura de saturação da água pura à pressão de operação, ou seja
.
Calor latente aproximado à
:
Energia requerida
(em W):
Lembrando
, então:
Para facilitar leituras,
.
Explicação pedagógica: aqui multipliquei a massa por segundo pela energia (kJ/kg) convertida para J/kg para obter potência térmica em watts. Esse
é o calor que precisa ser entregue ao banho para evaporar
de água.
Passo 4
Cálculo da área de troca térmica sem considerar elevação de ebulição (parte a).
Fórmula de transferência térmica usada (conceito):
onde
é a diferença de temperatura efetiva entre o vapor (condensando) e o líquido em ebulição. No caso simples, como o vapor condensa à temperatura de saturação à
e o líquido está fervendo aproximadamente à
, posso usar diferença simples (válido quando a temperatura do vapor é praticamente constante e a temperatura de ebulição do líquido varia pouco).
Temperatura do vapor saturado a
:
Diferença de temperatura:
Área necessária:
Cálculo numérico:
Comentário: este é o resultado da parte (a) sem levar em conta a elevação da temperatura de ebulição por solutos.
Passo 5
Cálculo da vazão de vapor de aquecimento sem considerar elevação de ebulição (parte b).
No balanço energético simpleto: o calor cedido por
kg/s de vapor é aproximadamente
, onde
é o calor latente do vapor a
(temperatura de saturação do vapor). Assim:
Estimativa de
(usando a mesma aproximação
):
Convertendo
para kJ/s (kW):
.
Logo vazão de vapor (em kg/s):
Em
:
Interpretação: precisamos de cerca de
de vapor a
para fornecer o calor necessário.
Passo 6
Capacidade e economia do evaporador (parte c).
- Capacidade do evaporador (normalmente entendida como vazão de água evaporada por hora):
- Economia (definida aqui como massa de água evaporada por massa de vapor de aquecimento consumido):
Interpretação: cada kg de vapor de aquecimento produz cerca de
de vapor gerado no evaporador (economia < 1 porque o calor latente do vapor a 2 bar é menor que o calor latente de vaporização da água à temperatura de ebulição do banho).
Passo 7
Agora (parte d) — incluir a elevação da temperatura de ebulição pela equação empírica e recalcular área e vazão de vapor.
Primeiro, vamos calcular a elevação da temperatura de ebulição
para a solução mais concentrada (
) e também para a solução inicial (
) para obter a variação de temperatura ao longo do evaporador (necessária para o LMTD).
Dados para a fórmula:
com
,
,
,
e
.
Cálculo para
(
):
- Primeiro compute
: -
-
(próximo de 1).
Agora:
Cálculo para
(
):
-
-
-
(mesmo).
Portanto as temperaturas de ebulição efetivas (água pura a 14 kPa mais elevação) são:
- na entrada (10%):
- na saída (50%):
Explicação: a presença de sólidos eleva ligeiramente a temperatura de ebulição; a elevação cresce com a concentração. Aqui passou de ~0{,}31°C na alimentação a ~2{,}75°C no produto concentrado.
Passo 8
Cálculo do LMTD (Delta T logarítmico) com as duas temperaturas de ebulição (conceito): como ao longo do evaporador a temperatura de ebulição do banho varia entre
e
, enquanto o vapor permanece a
, o gradiente de temperatura na face do líquido varia. O LMTD é:
onde
e
.
Cálculos numéricos:
Observação: o LMTD diminuiu ligeiramente em relação ao valor simples
porque o ponto de ebulição subiu ao longo do evaporador.
Passo 9
Recalcular o calor necessário
usando o calor latente médio adequado com a elevação de ebulição.
Para ser consistente, uso o calor latente médio correspondente à temperatura média de ebulição do banho:
Calor latente médio:
Potência requerida:
Ou seja
, ligeiramente menor que o valor anterior (diferença pequena, pois a mudança de
foi pequena).
Passo 10
Recalcular a área com o LMTD (considerando a elevação) e o novo
:
Cálculo do denominador:
Logo:
Comentário: a área aumentou levemente (de
para
) porque o LMTD diminuiu ao considerar a elevação de ebulição.
Passo 11
Recalcular a vazão de vapor de aquecimento com o novo
:
Usando
(mesmo valor aproximado para vapor a
):
Em
:
A diferença em relação ao caso sem elevação é pequena (aprox.
para
), pois o efeito sobre o calor latente e sobre o LMTD é moderado nas faixas dadas.
Resposta
(a) Área de transferência sem considerar elevação de ebulição:
.
(b) Vazão de vapor de aquecimento sem considerar elevação de ebulição:
.
(c) Capacidade do evaporador:
(água evaporada).
Economia: .
Economia:
(d) Considerando a elevação da temperatura de ebulição (Capriste & Lozano):
- Área recalculada:
. - Vazão de vapor de aquecimento recalculada:
.