Questão 3 - ( 2,5 pontos) Duas placas infinitas paralelas e horizontais têm o espaço entre elas preenchido com um fluido viscoso e incompressível ( \mu=0,76 \mathrm{N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} e densidade relativa 0,8 . A placa superior move-se com velocidade constante de 15,2 \mathrm{~mm} / \mathrm{s} e a placa inferior encontra-se imóvel. A distância entre as placas é de 8 mm e não existe gradiente de pressão na direção “x”. Nestas condições determine a vazão por unidade de largura.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a vazão por unidade de largura (fluxo volumétrico por largura):
  • Placas paralelas e infinitas, horizontais, separadas por uma distância \;h=8\\ \mathrm{mm}.
  • Fluido viscoso e incompressível com viscosidade dinâmica \;\mu=0,76\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}} e densidade relativa 0,8.
  • Placa superior move-se com velocidade constante \;U=15,2\\ \mathrm{mm/s}.
  • Placa inferior está imóvel: velocidade zero na superfície inferior.
  • Não existe gradiente de pressão na direção x: \;\dfrac{dp}{dx}=0.
  • O que se pede: a vazão por unidade de largura, isto é, o fluxo volumétrico por unidade de comprimento na direção z (perpendicular ao plano xy), que chamaremos de \;Q'.
Os valores numéricos que vamos usar (convertendo para o SI) são:
h = 8\\ \mathrm{mm} = 0,008\\ \mathrm{m}, \qquad U = 15,2\\ \mathrm{mm/s} = 0,0152\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Modelo físico e equação de partida (explicação didática):
  • Como as placas são infinitas e a placa superior impõe um movimento, espera-se um escoamento unidimensional no sentido x cuja velocidade depende só da coordenada y: u = u(y). Isso é o caso clássico de escoamento de Couette.
  • Para um fluido newtoniano, o termo de viscosidade aparece na equação do momento. Ao simplificar as equações de Navier–Stokes para escoamento estacionário, unidimensional e sem variações em x nem em z, a equação de balanço de momento em x reduz-se a
\mu \frac{d^{2}u}{dy^{2}} = \frac{dp}{dx}.
Aqui:
  • \mu é a viscosidade dinâmica (unidade \mathrm{N\cdot s/m^{2}}),
  • u(y) é a componente da velocidade na direção x,
  • \dfrac{dp}{dx} é o gradiente de pressão na direção x.
  • No nosso problema foi dado que \dfrac{dp}{dx}=0. Substituindo:
\mu \frac{d^{2}u}{dy^{2}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^{2}u}{dy^{2}} = 0.
Explicação: segunda derivada nula significa que a curvatura do perfil de velocidade é zero — o perfil é uma função linear de y.

Passo 3

Integração da equação e aplicação das condições de contorno (aula prática):
  • Integramos \dfrac{d^{2}u}{dy^{2}}=0 uma vez:
\frac{du}{dy} = C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.
  • Integramos de novo:
u(y) = C_{1}y + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.
  • Aplicamos as condições de contorno:
    • na placa inferior: y=0 \Rightarrow u(0)=0. Logo C_{2}=0.
    • na placa superior: y=h \Rightarrow u(h)=U. Então
U = C_{1}h \quad\Rightarrow\quad C_{1}=\frac{U}{h}.
  • Portanto o perfil de velocidade é linear:
u(y) = \frac{U}{h}\,y.
Comentário didático: o perfil não depende de \mu porque não há gradiente de pressão forçando curvatura — a velocidade imposta pela placa superior cria um perfil linear (corte simples).

Passo 4

Cálculo da vazão por unidade de largura (definição e integração):
  • A vazão por unidade de largura \;Q' é o integral da componente de velocidade u(y) ao longo da abertura entre as placas:
Q' = \int_{0}^{h} u(y)\,dy.
  • Substituindo o perfil u(y)=\dfrac{U}{h}y:
Q' = \int_{0}^{h} \frac{U}{h}\,y\,dy = \frac{U}{h}\int_{0}^{h} y\,dy.
  • Avaliando a integral:
\int_{0}^{h} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{h} = \frac{h^{2}}{2}.
  • Logo:
Q' = \frac{U}{h}\cdot\frac{h^{2}}{2} = \frac{U h}{2}.
Isso é uma fórmula simples e útil: para Couette sem gradiente de pressão a vazão por largura é metade do produto U\cdot h.

Passo 5

Substituição numérica e unidades (contas passo a passo):
  • Valores (já convertidos para o SI) são:
U = 0,0152\\ \mathrm{m/s},\qquad h = 0,008\\ \mathrm{m}.
  • Usando \;Q'=\dfrac{U h}{2}:
Q' = \frac{0,0152\times 0,008}{2}.
  • Primeiro calcule o produto:
0,0152\times 0,008 = 0,0001216.
  • Agora divida por 2:
Q' = 0,0001216 \div 2 = 0,0000608\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Em notação científica:
Q' = 6,08\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Se quiser uma unidade mais intuitiva (por exemplo \mathrm{mm^{2}/s}), multiplica-se por 10^{6}:
Q' = 60,8\\ \mathrm{mm^{2}/s}.

Passo 6

Observações finais e checagem rápida:
  • A densidade relativa ( 0,8) e a viscosidade \mu foram fornecidas no enunciado, mas não foram necessárias para calcular \;Q' porque \dfrac{dp}{dx}=0 leva a um perfil linear independente de \mu. A viscosidade estaria envolvida se houvesse gradiente de pressão ou se quiséssemos calcular tensões de cisalhamento.
  • Resultado está em unidades consistentes do SI e foi checado por dimensão: vazão por unidade de largura tem dimensão \mathrm{[L^{2}/T]}, compatível com \mathrm{m^{2}/s}.

Resposta

\;Q' = 0,0000608\\ \mathrm{m^{2}/s} \
\;Q' = 6,08\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s} \
\;Q' = 60,8\\ \mathrm{mm^{2}/s}

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