Resolva a EDO:
.
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
Ou seja, encontrar a família de funções
que satisfazem essa relação para
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é de primeira ordem e linear não homogênea na forma
. - Aqui
e . - O domínio indicado é
(isso importa para definir o fator integrante ).
As perguntas implícitas:
- Encontrar a solução geral
da EDO para .
Passo 2
Escolha do método: como a equação é linear de primeira ordem na forma padrão
o método mais direto é o do fator integrante (integrating factor). Vou explicar o porquê e a ideia:
A técnica do fator integrante procura uma função
tal que, ao multiplicarmos a equação por
, o lado esquerdo passe a ser a derivada de um produto
. Ou seja, queremos
tal que
Comparando com a equação multiplicada por
, isso exige
ou seja
. Assim
. Depois multiplicamos a EDO por
, integramos e resolvemos para
.
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular o fator integrante
.
Temos
. Então
Calcule a integral
(válido porque
). Portanto
Explicando:
é o fator que transforma o lado esquerdo em derivada de produto.
Passo 4
Multiplicar a equação por
e reconhecer o lado esquerdo como derivada de produto.
Multiplicando a EDO original por
(lembrando que a equação foi reescrita como
) obtemos
O lado esquerdo é exatamente
porque
Logo a equação vira
Passo 5
Integrar ambos os lados para obter
.
Integramos em
:
onde
é constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
. Vou fazer isso por partes e explicar a fórmula.
Fórmula de integração por partes: se escolhemos
e
então
onde
é uma primitiva de
e
é a diferencial de
.
Escolha para a integral
:
-
então . -
então é uma primitiva de . Uma primitiva de é , porque .
Aplicando partes:
Agora calcule a segunda integral
. Uma primitiva de
é
porque
. Assim
Voltando:
Passo 6
Substituir a integral obtida e escrever a relação para
.
Voltando à expressão integrada,
onde
é constante de integração. Esta é uma forma conveniente que vale para
.
Observação sobre a solução homogênea: se considerarmos a equação homogênea
, ela é separável. Fazendo
e integrando chega-se a
, isto é
. Isso é coerente com o termo
que aparece quando isolamos
abaixo — é a contribuição da solução homogênea.
Resposta
onde
é constante arbitrária real.