Resolva a EDO:
y^{\prime}+\left(\frac{1}{t}\right) y-\cos 2 t=0, \quad t>0.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y^{\prime}+\left(\frac{1}{t}\right) y-\cos 2 t=0,\qquad t>0.
Ou seja, encontrar a família de funções y(t) que satisfazem essa relação para t>0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é de primeira ordem e linear não homogênea na forma y'+p(t)y=q(t).
  • Aqui p(t)=\dfrac{1}{t} e q(t)=\cos 2t.
  • O domínio indicado é t>0 (isso importa para definir o fator integrante \mathrm{e}^{\int p(t)\,dt}).
As perguntas implícitas:
  • Encontrar a solução geral y(t) da EDO para t>0.

Passo 2

Escolha do método: como a equação é linear de primeira ordem na forma padrão
y'+p(t)y=q(t),
o método mais direto é o do fator integrante (integrating factor). Vou explicar o porquê e a ideia:
A técnica do fator integrante procura uma função \mu(t) tal que, ao multiplicarmos a equação por \mu(t), o lado esquerdo passe a ser a derivada de um produto \big(\mu(t)y(t)\big)'. Ou seja, queremos \mu(t) tal que
\big(\mu(t)y(t)\big)'=\mu(t) y'+\mu(t) p(t) y.
Comparando com a equação multiplicada por \mu, isso exige
\mu'(t)=\mu(t)p(t),
ou seja \dfrac{\mu'(t)}{\mu(t)}=p(t). Assim \mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right). Depois multiplicamos a EDO por \mu, integramos e resolvemos para y.
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t).
Temos p(t)=\dfrac{1}{t}. Então
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{1}{t}\,dt\right).
Calcule a integral \int \dfrac{1}{t}\,dt=\ln t (válido porque t>0). Portanto
\mu(t)=\exp(\ln t)=t.
Explicando: \mu(t)=t é o fator que transforma o lado esquerdo em derivada de produto.

Passo 4

Multiplicar a equação por \mu(t)=t e reconhecer o lado esquerdo como derivada de produto.
Multiplicando a EDO original por t (lembrando que a equação foi reescrita como y'+\frac{1}{t}y=\cos 2t) obtemos
t y' + \big(1\big) y = t\cos 2t.
O lado esquerdo é exatamente \big(t y\big)' porque
\big(t y\big)' = t y' + t' y = t y' + 1\cdot y.
Logo a equação vira
\big(t y\big)' = t\cos 2t.

Passo 5

Integrar ambos os lados para obter t y.
Integramos em t:
t y = \int t\cos 2t\,dt + C,
onde C é constante de integração. Agora precisamos calcular a integral \int t\cos 2t\,dt. Vou fazer isso por partes e explicar a fórmula.
Fórmula de integração por partes: se escolhemos u=u(t) e dv=dv(t) então
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde v é uma primitiva de dv e du é a diferencial de u.
Escolha para a integral \int t\cos 2t\,dt:
  • u=t então du=dt.
  • dv=\cos 2t\,dt então v é uma primitiva de \cos 2t. Uma primitiva de \cos 2t é \dfrac{1}{2}\sin 2t, porque \dfrac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{2}\sin 2t\big)=\cos 2t.
Aplicando partes:
\int t\cos 2t\,dt = t\cdot\frac{1}{2}\sin 2t - \int \frac{1}{2}\sin 2t\,dt.
Agora calcule a segunda integral \int \sin 2t\,dt. Uma primitiva de \sin 2t é -\dfrac{1}{2}\cos 2t porque \dfrac{d}{dt}\big(-\tfrac{1}{2}\cos 2t\big)=\sin 2t. Assim
\int \frac{1}{2}\sin 2t\,dt = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos 2t\right) = -\frac{1}{4}\cos 2t.
Voltando:
\int t\cos 2t\,dt = \frac{t}{2}\sin 2t - \left(-\frac{1}{4}\cos 2t\right) = \frac{t}{2}\sin 2t + \frac{1}{4}\cos 2t.

Passo 6

Substituir a integral obtida e escrever a relação para t y.
Voltando à expressão integrada,
t y = \frac{t}{2}\sin 2t + \frac{1}{4}\cos 2t + C,
onde C é constante de integração. Esta é uma forma conveniente que vale para t>0.
Observação sobre a solução homogênea: se considerarmos a equação homogênea y'+\dfrac{1}{t}y=0, ela é separável. Fazendo \dfrac{dy}{y}=-\dfrac{dt}{t} e integrando chega-se a \ln|y|=-\ln t + \tilde C, isto é y=\dfrac{\tilde C}{t}. Isso é coerente com o termo \dfrac{C}{t} que aparece quando isolamos y abaixo — é a contribuição da solução homogênea.

Resposta

y(t)=\frac{1}{2}\sin 2t+\frac{1}{4t}\cos 2t+\frac{C}{t},\qquad t>0,
onde C é constante arbitrária real.

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