Resolva o PVI:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Este é um PVI de equação diferencial ordinária linear de primeira ordem, no formato
com
e
. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois ajustar a constante usando
.
Passo 2
Calculamos o fator integrante
como
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Logo a equação vira
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo fica
. Para o lado direito usamos a integral por partes ou a fórmula conhecida
Portanto
Passo 5
Isolando
e simplificando por
obtemos a solução geral
Passo 6
Usamos a condição inicial
:
Isso dá
. Logo a solução particular é