Resolva o PVI: y^{\prime}+y=\cos x, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' + y = \cos x,\quad y(0)=1.
Este é um PVI de equação diferencial ordinária linear de primeira ordem, no formato
y' + P(x)\,y = Q(x),
com P(x)=1 e Q(x)=\cos x. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois ajustar a constante usando y(0)=1.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) como
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 1\,dx} = e^{x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{x}, obtendo
e^{x}y' + e^{x}y = e^{x}\cos x.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{x}y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}y\bigr) = e^{x}y' + e^{x}y.
Logo a equação vira
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}y\bigr) = e^{x}\cos x.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}y\bigr)\,dx = \int e^{x}\cos x\,dx.
No lado esquerdo fica e^{x}y. Para o lado direito usamos a integral por partes ou a fórmula conhecida
\int e^{x}\cos x\,dx = \tfrac12\,e^{x}\bigl(\sin x + \cos x\bigr) + C.
Portanto
e^{x}y = \tfrac12\,e^{x}\bigl(\sin x + \cos x\bigr) + C.

Passo 5

Isolando y e simplificando por e^{x} obtemos a solução geral
y(x) = \tfrac12\bigl(\sin x + \cos x\bigr) + C\,e^{-x}.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=1:
y(0) = \tfrac12\bigl(\sin 0 + \cos 0\bigr) + C\,e^{0} = \tfrac12(0 + 1) + C = \tfrac12 + C = 1.
Isso dá C = 1 - \tfrac12 = \tfrac12. Logo a solução particular é
y(x) = \tfrac12\bigl(\sin x + \cos x\bigr) + \tfrac12\,e^{-x}.

Resposta

y(x) = \frac{\sin x + \cos x + e^{-x}}{2}.

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