Resolva a EDO.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede a solução geral
(nenhuma condição inicial foi fornecida). As informações relevantes fornecidas são:
- A equação relaciona a derivada
com uma função de e . - O numerador é
. - O denominador é
.
O objetivo é encontrar uma expressão que determineem função de (ou, se não for possível de forma elementar, a solução implícita que descreve ).
Passo 2
Vamos manipular a equação para separar as variáveis
e
. A equação dada é
Multiplicando ambos os lados por
e por
obtemos
Isto coloca todas as quantidades dependentes de
do lado esquerdo e todas as dependentes de
do lado direito — ou seja, a equação é separável. Agora podemos integrar os dois lados.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da igualdade:
Antes de integrar de uma vez, vou separar a integral em termos simples para deixar claro cada passo:
Passo 4
Calculemos cada integral separadamente, explicando direitinho.
-
Para
: trata-se da integral de uma potência. A regra é . Em outras palavras, a primitiva de é , porque ao derivar volta-se a . -
Para
: a primitiva de é (pois ). Logo .
Assim o lado esquerdo vale
-
Para
: análogo ao caso anterior, . -
Para
: lembrar que . Portanto . Como na integral do lado direito temos um sinal negativo à frente, isto é , obtemos
(Verificação rápida: ao derivar
obtemos
, que é justamente o integrando com o sinal apropriado.)
Assim o lado direito vale
Passo 5
Igualando as primitivas dos dois lados e acrescentando a constante de integração
, obtemos a solução implícita geral:
Podemos rearranjar para uma forma um pouco mais compacta, por exemplo
que é uma maneira conveniente de escrever a família de curvas solução.
Passo 6
Comentários didáticos e práticos para a prova:
- A técnica usada foi separar variáveis: colocar todos os termos com
multiplicando de um lado e todos os termos com multiplicando do outro, e então integrar ambos os lados. Essa é uma técnica padrão para equações da forma (ou que possam ser rearranjadas para isso). - Nem sempre é possível isolar
explicitamente em função de com funções elementares. Aqui a solução ficou implícita porque a equação contém e no mesmo termo; não há manipulação algébrica simples que dê . Portanto a forma implícita acima é a forma adequada da solução geral. - Atenção a pontos onde a separação foi ilegítima: dividimos por
no início (quando passamos para a forma separada). Isso exige . Existe um único valor real tal que ; numericamente (essa raiz satisfaz ). Em pontos onde a função do lado direito original não está definida e soluções que cruzem esse valor precisam ser tratadas com cuidado (podem não existir ou ter derivada não definida). Para aplicações em prova, basta mencionar que a separação exige e que a solução implícita é válida em intervalos onde isso se mantém. - Se for dada uma condição inicial
, basta substituir e na expressão implícita para determinar , desde que .