Resolva a EDO.
y^{\prime}=\frac{x-e^{-x}}{y+e^{y}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y'=\frac{x-e^{-x}}{y+e^{y}}
e pede a solução geral y(x) (nenhuma condição inicial foi fornecida). As informações relevantes fornecidas são:
  • A equação relaciona a derivada \dfrac{dy}{dx} com uma função de x e y.
  • O numerador é x-e^{-x}.
  • O denominador é y+e^{y}.
    O objetivo é encontrar uma expressão que determine y em função de x (ou, se não for possível de forma elementar, a solução implícita que descreve y(x)).

Passo 2

Vamos manipular a equação para separar as variáveis x e y. A equação dada é
\frac{dy}{dx}=\frac{x-e^{-x}}{y+e^{y}}.
Multiplicando ambos os lados por y+e^{y} e por dx obtemos
(y+e^{y})\,dy=(x-e^{-x})\,dx.
Isto coloca todas as quantidades dependentes de y do lado esquerdo e todas as dependentes de x do lado direito — ou seja, a equação é separável. Agora podemos integrar os dois lados.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da igualdade:
\int (y+e^{y})\,dy=\int (x-e^{-x})\,dx.
Antes de integrar de uma vez, vou separar a integral em termos simples para deixar claro cada passo:
\int (y+e^{y})\,dy=\int y\,dy+\int e^{y}\,dy,
\int (x-e^{-x})\,dx=\int x\,dx-\int e^{-x}\,dx.

Passo 4

Calculemos cada integral separadamente, explicando direitinho.
  • Para \displaystyle\int y\,dy: trata-se da integral de uma potência. A regra é \displaystyle\int y\,dy=\frac{1}{2}y^{2}. Em outras palavras, a primitiva de y é \tfrac{1}{2}y^{2}, porque ao derivar \tfrac{1}{2}y^{2} volta-se a y.
  • Para \displaystyle\int e^{y}\,dy: a primitiva de e^{y} é e^{y} (pois \dfrac{d}{dy}e^{y}=e^{y}). Logo \displaystyle\int e^{y}\,dy=e^{y}.
Assim o lado esquerdo vale
\int (y+e^{y})\,dy=\frac{1}{2}y^{2}+e^{y}.
  • Para \displaystyle\int x\,dx: análogo ao caso anterior, \displaystyle\int x\,dx=\frac{1}{2}x^{2}.
  • Para \displaystyle\int e^{-x}\,dx: lembrar que \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}. Portanto \displaystyle\int e^{-x}\,dx=-e^{-x}. Como na integral do lado direito temos um sinal negativo à frente, isto é -\int e^{-x}\,dx, obtemos
-\int e^{-x}\,dx=-(-e^{-x})=e^{-x}.
(Verificação rápida: ao derivar e^{-x} obtemos -e^{-x}, que é justamente o integrando com o sinal apropriado.)
Assim o lado direito vale
\int (x-e^{-x})\,dx=\frac{1}{2}x^{2}+e^{-x}.

Passo 5

Igualando as primitivas dos dois lados e acrescentando a constante de integração C, obtemos a solução implícita geral:
\frac{1}{2}y^{2}+e^{y}=\frac{1}{2}x^{2}+e^{-x}+C.
Podemos rearranjar para uma forma um pouco mais compacta, por exemplo
\frac{1}{2}\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)+e^{y}-e^{-x}=C,
que é uma maneira conveniente de escrever a família de curvas solução.

Passo 6

Comentários didáticos e práticos para a prova:
  • A técnica usada foi separar variáveis: colocar todos os termos com y multiplicando dy de um lado e todos os termos com x multiplicando dx do outro, e então integrar ambos os lados. Essa é uma técnica padrão para equações da forma \dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y) (ou que possam ser rearranjadas para isso).
  • Nem sempre é possível isolar y explicitamente em função de x com funções elementares. Aqui a solução ficou implícita porque a equação contém e^{y} e y^{2} no mesmo termo; não há manipulação algébrica simples que dê y=\text{(função elementar de }x)çã. Portanto a forma implícita acima é a forma adequada da solução geral.
  • Atenção a pontos onde a separação foi ilegítima: dividimos por y+e^{y} no início (quando passamos para a forma separada). Isso exige y+e^{y}\neq 0. Existe um único valor real y_{0} tal que y_{0}+e^{y_{0}}=0; numericamente y_{0}\approx -0,567143 (essa raiz satisfaz e^{y_{0}}=-y_{0}). Em pontos onde y+e^{y}=0 a função do lado direito original não está definida e soluções que cruzem esse valor precisam ser tratadas com cuidado (podem não existir ou ter derivada não definida). Para aplicações em prova, basta mencionar que a separação exige y+e^{y}\neq0 e que a solução implícita é válida em intervalos onde isso se mantém.
  • Se for dada uma condição inicial y(x_{0})=y_{0}, basta substituir x=x_{0} e y=y_{0} na expressão implícita para determinar C, desde que y_{0}+e^{y_{0}}\neq0.

Resposta

\frac{1}{2}y^{2}+e^{y}=\frac{1}{2}x^{2}+e^{-x}+C

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