Resolva a EDO exata:
(2 x+4 y)+(4 x-3 y) y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x+4y)+(4x-3y)\,y'=0
e pede para resolvê‑la. As informações explícitas que temos são:
  • A equação envolve as expressões M(x,y)=2x+4y e N(x,y)=4x-3y.
  • O que se pede é encontrar a solução geral (uma família de curvas) que satisfaça essa equação diferencial.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem entrar em detalhes técnicos ainda). Vou verificar se existe uma função \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N(x,y),
porque, se existir, a relação \Psi(x,y)=C dá a solução geral. Isto é, procuramos uma função cujo diferencial total seja
d\Psi = M\,dx + N\,dy.
Antes de construir \Psi é preciso checar uma condição simples (de igualdade de derivadas parciais) — eu faço isso já no próximo passo.

Passo 3

Teste de igualdade de derivadas parciais (explicando o porquê). Calculo as derivadas parciais tratanto a outra variável como constante:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x+4y)=4,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(4x-3y)=4.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} (ambas igual a 4), a condição que garante a existência de \Psi é satisfeita. Logo existe \Psi(x,y) com d\Psi=M\,dx+N\,dy.

Passo 4

Construção de \Psi integrando M em relação a x. Explicação: integrar M(x,y) em x dá uma expressão que pode depender de y como “constante de integração”:
\Psi(x,y)=\int (2x+4y)\,dx = \int 2x\,dx + \int 4y\,dx = x^2 + 4xy + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida que depende só de y. É necessário determinar h(y) usando a condição \Psi_y=N.

Passo 5

Determinar h(y) comparando \Psi_y com N. Primeiro calculo a derivada parcial de \Psi em relação a y:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^2 + 4xy + h(y)\big) = 4x + h'(y).
Mas pela definição precisamos ter \Psi_y=N(x,y)=4x-3y. Igualando:
4x + h'(y) = 4x - 3y \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -3y.

Passo 6

Integrar h'(y) para obter h(y). Integração simples:
h(y)=\int -3y\,dy = -\tfrac{3}{2}y^2 + C_0,
onde C_0 é constante. Essa constante pode ser incorporada depois na constante final da solução implícita.

Passo 7

Escrever a função potencial completa \Psi(x,y) e a solução geral. Substituindo h(y) em \Psi:
\Psi(x,y)=x^2 + 4xy - \tfrac{3}{2}y^2 + C_0.
A solução geral da EDO é dada pela família de curvas implícitas
\Psi(x,y)=C,
onde C é constante arbitrária (absorvendo C_0). Portanto a solução implícita é
x^2 + 4xy - \tfrac{3}{2}y^2 = C.

Passo 8

Comentário adicional (opcional, para pensar na prova): essa forma implícita já é uma solução válida e geralmente suficiente. Se for necessário expressar y explicitamente em função de x, teria que resolver a quadrática em y, o que leva a uma fórmula com raiz quadrada (um pouco trabalhosa). Na maioria das provas, a forma implícita \Psi(x,y)=C é aceita.

Resposta

x^2 + 4xy - \tfrac{3}{2}y^2 = C

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