Resolva a EDO exata:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê‑la. As informações explícitas que temos são:
- A equação envolve as expressões
e . - O que se pede é encontrar a solução geral (uma família de curvas) que satisfaça essa equação diferencial.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem entrar em detalhes técnicos ainda). Vou verificar se existe uma função
tal que
porque, se existir, a relação
dá a solução geral. Isto é, procuramos uma função cujo diferencial total seja
Antes de construir
é preciso checar uma condição simples (de igualdade de derivadas parciais) — eu faço isso já no próximo passo.
Passo 3
Teste de igualdade de derivadas parciais (explicando o porquê). Calculo as derivadas parciais tratanto a outra variável como constante:
Como
(ambas igual a
), a condição que garante a existência de
é satisfeita. Logo existe
com
.
Passo 4
Construção de
integrando
em relação a
. Explicação: integrar
em
dá uma expressão que pode depender de
como “constante de integração”:
onde
é uma função desconhecida que depende só de
. É necessário determinar
usando a condição
.
Passo 5
Determinar
comparando
com
. Primeiro calculo a derivada parcial de
em relação a
:
Mas pela definição precisamos ter
. Igualando:
Passo 6
Integrar
para obter
. Integração simples:
onde
é constante. Essa constante pode ser incorporada depois na constante final da solução implícita.
Passo 7
Escrever a função potencial completa
e a solução geral. Substituindo
em
:
A solução geral da EDO é dada pela família de curvas implícitas
onde
é constante arbitrária (absorvendo
). Portanto a solução implícita é
Passo 8
Comentário adicional (opcional, para pensar na prova): essa forma implícita já é uma solução válida e geralmente suficiente. Se for necessário expressar
explicitamente em função de
, teria que resolver a quadrática em
, o que leva a uma fórmula com raiz quadrada (um pouco trabalhosa). Na maioria das provas, a forma implícita
é aceita.