Resolva a EDOs abaixo encontrando um fator integrante adequado:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada e encontrar um fator integrante adequado. A EDO fornecida é
As perguntas explícitas que temos de responder são:
- Encontrar um fator integrante adequado (ou seja, uma função
que torne a equação exata). - Resolver a equação (encontrar a solução geral implícita).
Informações relevantes dadas:
- A equação está escrita na forma
com
Passo 2
Vou verificar se a equação já é exata. Para isso calculo as derivadas parciais necessárias:
Comparando:
ou seja, a equação não é exata inicialmente. Precisamos então encontrar um fator integrante
que torne a equação exata.
Passo 3
Vou explicar a ideia do fator integrante que vou usar (sem pular passos). Queremos uma função
tal que a nova equação
seja exata, isto é,
Uma estratégia simples é procurar um fator integrante que dependa só de
,
. Se
, a condição de exatidão dá
Rearranjando e dividindo por
(assumindo
) obtemos
O lado esquerdo depende apenas de
; portanto, se o lado direito for uma função apenas de
, podemos integrar e achar
. Essa é a fórmula prática que usamos.
Agora calculo o lado direito usando
e
dados:
Observação importante: eu usei
e
calculados no Passo 2 e também usei
.
Como o quociente é
, uma função que depende somente de
(na verdade é constante), a hipótese de
é válida. Então
Integrando ambos os lados em
:
Escolhendo a constante multiplicativa como
(fatores multiplicativos constantes apenas mudam a constante final da solução), obtemos
Passo 4
Multiplico a equação original pelo fator integrante
. A equação transformada é
Defino as novas funções
Agora verifico exatidão:
Portanto
ou seja, a equação multiplicada por
é exata — sucesso!
Passo 5
Agora vamos encontrar a função potencial
tal que
Integro
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Precisamos calcular
. Uso integração por partes ou uma fórmula conhecida:
Então
Somando
,
Faço uma pequena simplificação dentro do colchete:
Logo
Passo 6
Determino
impondo
. Calculo
:
Comparo com
. Assim
Portanto
, constante.
Passo 7
A solução geral implícita é dada por
isto é
Podemos escrever de forma fatorada: