Resolva a EDOs abaixo encontrando um fator integrante adequado:
\left(y x+y^{2}+y\right) d x+(x+2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada e encontrar um fator integrante adequado. A EDO fornecida é
\left(y x+y^{2}+y\right) d x+(x+2 y) d y=0.
As perguntas explícitas que temos de responder são:
  • Encontrar um fator integrante adequado (ou seja, uma função \mu que torne a equação exata).
  • Resolver a equação (encontrar a solução geral implícita).
Informações relevantes dadas:
  • A equação está escrita na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y)=y x+y^{2}+y, \qquad N(x,y)=x+2y.

Passo 2

Vou verificar se a equação já é exata. Para isso calculo as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial M}{\partial y} = x+2y+1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Comparando:
\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x},
ou seja, a equação não é exata inicialmente. Precisamos então encontrar um fator integrante \mu que torne a equação exata.

Passo 3

Vou explicar a ideia do fator integrante que vou usar (sem pular passos). Queremos uma função \mu tal que a nova equação
\mu(x,y)M(x,y)\,dx+\mu(x,y)N(x,y)\,dy=0
seja exata, isto é,
\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu M\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\mu N\big).
Uma estratégia simples é procurar um fator integrante que dependa só de x, \mu=\mu(x). Se \mu=\mu(x), a condição de exatidão dá
\mu(x)\frac{\partial M}{\partial y} = \mu'(x) N + \mu(x)\frac{\partial N}{\partial x}.
Rearranjando e dividindo por \mu(x)N (assumindo N\neq0) obtemos
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)} = \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}.
O lado esquerdo depende apenas de x; portanto, se o lado direito for uma função apenas de x, podemos integrar e achar \mu(x). Essa é a fórmula prática que usamos.
Agora calculo o lado direito usando M e N dados:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{(x+2y+1)-1}{x+2y} = \frac{x+2y}{x+2y}=1.
Observação importante: eu usei \frac{\partial M}{\partial y} e \frac{\partial N}{\partial x} calculados no Passo 2 e também usei N(x,y)=x+2y.
Como o quociente é \,1, uma função que depende somente de x (na verdade é constante), a hipótese de \mu=\mu(x) é válida. Então
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=1.
Integrando ambos os lados em x:
\ln\big(\mu(x)\big)=\int 1\,dx = x + C.
Escolhendo a constante multiplicativa como 1 (fatores multiplicativos constantes apenas mudam a constante final da solução), obtemos
\mu(x)=e^{x}.

Passo 4

Multiplico a equação original pelo fator integrante \mu(x)=e^{x}. A equação transformada é
e^{x}\big(y x+y^{2}+y\big)\,dx + e^{x}\big(x+2y\big)\,dy = 0.
Defino as novas funções
\widetilde M(x,y)=e^{x}\big(y x+y^{2}+y\big), \qquad \widetilde N(x,y)=e^{x}\big(x+2y\big).
Agora verifico exatidão:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = e^{x}(x+2y+1), \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = e^{x}(x+2y)+e^{x}\cdot 1 = e^{x}(x+2y+1).
Portanto
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y}=\frac{\partial \widetilde N}{\partial x},
ou seja, a equação multiplicada por e^{x} é exata — sucesso!

Passo 5

Agora vamos encontrar a função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=\widetilde M(x,y), \qquad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=\widetilde N(x,y).
Integro \widetilde M em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y)=\int e^{x}\big(y x+y^{2}+y\big)\,dx + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
Precisamos calcular \displaystyle \int e^{x} x\,dx. Uso integração por partes ou uma fórmula conhecida:
\int x e^{x}\,dx = e^{x}(x-1)+C.
Então
\int e^{x}\big(y x+y^{2}+y\big)\,dx = y\int x e^{x}\,dx + (y^{2}+y)\int e^{x}\,dx = y\,e^{x}(x-1) + (y^{2}+y)e^{x}.
Somando h(y),
\Psi(x,y)=e^{x}\big(y(x-1)+y^{2}+y\big)+h(y).
Faço uma pequena simplificação dentro do colchete:
y(x-1)+y^{2}+y = yx - y + y^{2} + y = yx + y^{2}.
Logo
\Psi(x,y)=e^{x}\big(yx+y^{2}\big)+h(y).

Passo 6

Determino h(y) impondo \Psi_{y}=\widetilde N. Calculo \Psi_{y}:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = e^{x}(x+2y) + h'(y).
Comparo com \widetilde N=e^{x}(x+2y). Assim
e^{x}(x+2y)+h'(y)=e^{x}(x+2y) \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Portanto h(y)=C, constante.

Passo 7

A solução geral implícita é dada por
\Psi(x,y)=\text{const},
isto é
e^{x}\big(yx+y^{2}\big)=C.
Podemos escrever de forma fatorada:
e^{x}y(x+y)=C.

Resposta

\mu(x)=e^{x}
e^{x}y(x+y)=C

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