Resolva os Problemas de valor inicial abaixo:
\left\{\begin{array}{l}\left(y^{2}+4\right) \frac{d y}{d x}=x \sin x \\\ y(\pi)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
\begin{cases} \left(y^{2}+4\right)\dfrac{dy}{dx}=x\sin x,\\[4pt] y(\pi)=1. \end{cases}
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição y(\pi)=1.
Informações dadas (explicitadas):
  • Uma equação envolvendo y, dy/dx, x e \sin x.
  • Condição inicial no ponto x=\pi com y(\pi)=1.]

Passo 2

Primeiro passo operacional: isolar os termos em y de um lado e os termos em x do outro, de modo a integrar cada lado separadamente.
Dividindo ambos os lados por \left(y^{2}+4\right) e multiplicando por dx obtém-se:
\dfrac{dy}{y^{2}+4}=x\sin x\,dx.
Agora as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende apenas de y e o direito apenas de x. A próxima etapa é integrar os dois lados.

Passo 3

Integramos o lado esquerdo. Vamos usar a fórmula padrão:
\int \dfrac{du}{u^{2}+a^{2}}=\dfrac{1}{a}\arctan\!\left(\dfrac{u}{a}\right)+C,
onde a>0 é constante e u é a variável de integração.
No nosso caso u=y e a=2, porque y^{2}+4=y^{2}+2^{2}. Assim
\int \dfrac{dy}{y^{2}+4}=\dfrac{1}{2}\arctan\!\left(\dfrac{y}{2}\right)+C.
Expliquei a fórmula: ela vem do fato de que a derivada de \arctan(u/a) é \dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{1+(u/a)^{2}}=\dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}.

Passo 4

Agora integramos o lado direito \int x\sin x\,dx. Use integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolha conveniente: u=x (então du=dx) e dv=\sin x\,dx (então v=-\cos x). Aplicando:
\int x\sin x\,dx = x(-\cos x)-\int (-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
E \int \cos x\,dx=\sin x. Portanto
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C.

Passo 5

Juntando as duas integrais (esquerda e direita) obtemos a relação geral (com uma constante de integração):
\dfrac{1}{2}\arctan\!\left(\dfrac{y}{2}\right) = -x\cos x + \sin x + C.
Multiplicando por 2 para simplificar a escrita, definindo C'=2C, temos
\arctan\!\left(\dfrac{y}{2}\right) = -2x\cos x + 2\sin x + C'.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(\pi)=1 para determinar C'.
Substituindo x=\pi e y=1 na equação:
\arctan\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -2\pi\cos\pi + 2\sin\pi + C'.
Usando \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, o lado direito fica -2\pi(-1)+0+C'=2\pi+C'. Então
\arctan\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\pi+C'
e portanto
C'=\arctan\!\left(\dfrac{1}{2}\right)-2\pi.

Passo 7

Substituindo C' de volta na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
\arctan\!\left(\dfrac{y}{2}\right)= -2x\cos x + 2\sin x + \arctan\!\left(\dfrac{1}{2}\right)-2\pi.

Passo 8

Isolar y. Aplicando a tangente em ambos os lados (inverso do \arctan) e multiplicando por 2, temos a solução explicitamente:
y(x)=2\tan\!\Bigl(-2x\cos x + 2\sin x + \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)-2\pi\Bigr).
Comentário curto: a tangente é periódica e multivalorada, mas a construção acima usa a constante C' obtida pela condição inicial, o que determina a ramificação contínua que contém x=\pi.

Resposta

y(x)=2\tan\!\Bigl(-2x\cos x + 2\sin x + \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)-2\pi\Bigr)

Exercícios relacionados