Usando \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, o lado direito fica -2\pi(-1)+0+C'=2\pi+C'. Então
\arctan\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\pi+C'
e portanto
C'=\arctan\!\left(\dfrac{1}{2}\right)-2\pi.
Passo 7
Substituindo C' de volta na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
\arctan\!\left(\dfrac{y}{2}\right)= -2x\cos x + 2\sin x + \arctan\!\left(\dfrac{1}{2}\right)-2\pi.
Passo 8
Isolar y. Aplicando a tangente em ambos os lados (inverso do \arctan) e multiplicando por 2, temos a solução explicitamente:
y(x)=2\tan\!\Bigl(-2x\cos x + 2\sin x + \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)-2\pi\Bigr).
Comentário curto: a tangente é periódica e multivalorada, mas a construção acima usa a constante C' obtida pela condição inicial, o que determina a ramificação contínua que contém x=\pi.
Resposta
y(x)=2\tan\!\Bigl(-2x\cos x + 2\sin x + \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)-2\pi\Bigr)