Resolva as EDO’s abaixo:
y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=(\operatorname{sen} x-6) e^{-x}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + 3y'' + 3y' + y = (\sin x - 6)e^{-x}.
O método geral consiste em achar primeiro a solução homogênea y_h da equação associada
y''' + 3y'' + 3y' + y = 0,
e depois uma solução particular y_p da EDO não-homogênea.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea, escrevemos o polinômio característico
r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = 0.
Observamos que (r+1)^3 = r^3 +3r^2 +3r +1, logo a raiz \,r=-1 é de multiplicidade 3. Daí
y_h(x) = e^{-x}\bigl(C_1 + C_2 x + C_3 x^2\bigr),
com C_1,C_2,C_3 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para encontrar y_p, usamos a substituição
y(x) = e^{-x}u(x).
Sob o operador L(D)=D^3+3D^2+3D+1 temos a propriedade
L(D)\bigl[e^{-x}u(x)\bigr] \;=\; e^{-x}(D-1)^3u +3e^{-x}(D-1)^2u+3e^{-x}(D-1)u+e^{-x}u \;=\;e^{-x}D^3u,
pois a soma se reduz a D^3. Assim a EDO vira
e^{-x}u'''(x) = (\sin x -6)e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad u'''(x) = \sin x -6.

Passo 4

Integramos sucessivamente u'''(x)=\sin x -6:
u''(x) = \int(\sin x -6)\,dx = -\cos x -6x + A,
u'(x) = \int(-\cos x -6x + A)\,dx = -\sin x -3x^2 + A x + B,
u(x) = \int(-\sin x -3x^2 + A x + B)\,dx = \cos x - x^3 + \frac{A}{2}x^2 + Bx + C.
Para obter uma solução particular, basta escolher A=B=C=0. Assim
u_p(x) = \cos x - x^3,
y_p(x) = e^{-x}u_p(x) = e^{-x}(\cos x - x^3).

Passo 5

A solução geral da EDO é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{-x}\bigl(C_1 + C_2 x + C_3 x^2\bigr) + e^{-x}(\cos x - x^3).
Podemos juntar termos em um único fator e^{-x}:
y(x) = e^{-x}\bigl(C_1 + C_2 x + C_3 x^2 + \cos x - x^3\bigr).

Resposta

y(x) = e^{-x}\bigl(C_1 + C_2 x + C_3 x^2 + \cos x - x^3\bigr),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

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