Determine \alpha de modo que todas as soluções da equação
y^{\prime \prime}+\left(\alpha^{2}-1\right) y^{\prime}+\alpha y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'' + (\alpha^2 - 1)\,y' + \alpha\,y = 0
e pede para determinar o valor de \alpha de modo que “todas as soluções” satisfaçam alguma propriedade. No entanto, o enunciado não especifica qual é essa propriedade (estabilidade, oscilação, convergência a zero etc.), e essa informação é essencial para encontrar a condição em \alpha.

Passo 2

Sem saber qual característica desejamos para as soluções (por exemplo, que elas tendam a zero quando t\to+\infty, que sejam todas não oscilatórias, que sejam todas periódicas etc.), não há critério nenhum para escolher um valor de \alpha. Cada uma dessas propriedades leva a uma condição diferente sobre as raízes do polinômio característico
r^2 + (\alpha^2 - 1)r + \alpha = 0.

Resposta

Não é possível determinar \alpha pois falta no enunciado a propriedade que as soluções devem satisfazer.

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