Resolva as EDOs abaixo:
Resolva a EDO de valor inicial
\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x^{2}, \quad y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de valor inicial
\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x^{2}, \qquad y(1)=2.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y(1)=2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.
  • A condição inicial fixa o valor da solução em x=1.
  • Observação importante: a equação tem coeficiente -\dfrac{1}{x}, logo x\neq0. Como a condição inicial é em x=1>0, podemos trabalhar no intervalo x>0.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x).
Aqui, comparando termo a termo,
P(x)=-\frac{1}{x},\qquad Q(x)=x^{2}.
Técnica que vamos usar: fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y. O fator integrante é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Explico o porquê: se \mu'=\mu P, então
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu' y=\mu\frac{dy}{dx}+\mu P y=\mu\Big(\frac{dy}{dx}+P y\Big),
ou seja, multiplicando a equação original por \mu transformamos o lado esquerdo em \dfrac{d}{dx}(\mu y), que é fácil de integrar.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). Substituindo P(x)=-\dfrac{1}{x},
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp\!\big(-\ln|x|\big).
Usando propriedades de exponencial e logaritmo,
\mu(x)=|x|^{-1}.
Como estamos no intervalo x>0 (porque a condição inicial é em x=1), temos |x|=x e portanto
\mu(x)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=\dfrac{1}{x}. Fazendo isso obtemos
\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^{2}}y = \frac{1}{x}\,x^{2}=x.
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de \dfrac{y}{x}. Para ver isso explicitamente:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right) =\frac{x\frac{dy}{dx}-y}{x^{2}} =\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^{2}}y.
Portanto a equação transformada fica
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=x.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Integramos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=x
para obter
\frac{y}{x}=\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolar y. Multiplicando por x,
y=x\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)=\frac{x^{3}}{2}+C x.
Esta é a solução geral da equação diferencial no intervalo x>0.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(1)=2 para determinar C. Substituindo x=1 e y(1)=2,
2=\frac{1^{3}}{2}+C\cdot 1=\frac{1}{2}+C.
Logo
C=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.

Passo 8

Substituir C na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{x^{3}}{2}+\frac{3}{2}x.
Podemos também escrever de forma fatorada:
y(x)=\frac{1}{2}\,x\big(x^{2}+3\big).
Verificação rápida (opcional): derivando esta solução e substituindo na equação original confirmaria que ela satisfaz a EDO e a condição inicial.

Resposta

y(x)=\frac{x^{3}}{2}+\frac{3}{2}x

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