Resolva as EDOs abaixo:
Resolva a EDO de valor inicial
Resolva a EDO de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de valor inicial
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.
- A condição inicial fixa o valor da solução em
. - Observação importante: a equação tem coeficiente
, logo . Como a condição inicial é em , podemos trabalhar no intervalo .
Passo 2
Vamos reorganizar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
Aqui, comparando termo a termo,
Técnica que vamos usar: fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de
. O fator integrante é dado por
Explico o porquê: se
, então
ou seja, multiplicando a equação original por
transformamos o lado esquerdo em
, que é fácil de integrar.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Substituindo
,
Usando propriedades de exponencial e logaritmo,
Como estamos no intervalo
(porque a condição inicial é em
), temos
e portanto
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso obtemos
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de
. Para ver isso explicitamente:
Portanto a equação transformada fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Integramos
para obter
onde
é constante de integração.
Passo 6
Isolar
. Multiplicando por
,
Esta é a solução geral da equação diferencial no intervalo
.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
,
Logo
Passo 8
Substituir
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Podemos também escrever de forma fatorada:
Verificação rápida (opcional): derivando esta solução e substituindo na equação original confirmaria que ela satisfaz a EDO e a condição inicial.