Resolva as EDOs abaixo:
\frac{d y}{d x}=x\left(y^{2}-1\right).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}=x\bigl(y^{2}-1\bigr).
Informações dadas:
  • A equação relaciona a derivada dy/dx com x e y pela expressão acima.
  • Não há condição inicial fornecida, então queremos a solução geral (família de soluções).
    O objetivo é encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa identidade.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática): a equação tem o lado direito escrito como produto de uma função que depende só de x (que é x) por uma função que depende só de y (que é y^{2}-1). Quando isso ocorre podemos usar separação de variáveis: rearranjamos para colocar todos os termos com y num lado e os termos com x no outro, e então integramos. A ideia é que a equação seja transformada numa igualdade do tipo g(y)\,dy = h(x)\,dx, que se integra diretamente.

Passo 3

Separação de variáveis: dividir ambos os lados por (y^{2}-1) (tomando cuidado com possíveis pontos onde isso é zero) e multiplicar por dx, obtendo
\frac{d y}{y^{2}-1}=x\,dx.
Agora cada lado depende de apenas uma variável: a cabeça esquerda só de y, a direita só de x. Vamos integrar ambos os lados.

Passo 4

Integração do lado esquerdo (explicação passo a passo): precisamos integrar
\int \frac{d y}{y^{2}-1}.
Usamos frações parciais porque y^{2}-1=(y-1)(y+1). Procuramos constantes A,B tais que
\frac{1}{y^{2}-1}=\frac{A}{y-1}+\frac{B}{y+1}.
Multiplicando por (y-1)(y+1) obtemos 1=A(y+1)+B(y-1). Igualando coeficientes ou avaliando em pontos convenientes:
  • para y=1: 1=A(2)\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
  • para y=-1: 1=B(-2)\Rightarrow B=-\tfrac{1}{2}.
    Logo
\frac{1}{y^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}\right).
Integrando,
\int \frac{d y}{y^{2}-1}=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}\right)d y =\frac{1}{2}\ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right| + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. (Aqui usei a primitiva \int \frac{1}{y-a}\,dy=\ln|y-a|.)
Integração do lado direito:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C_{2}.
Igualando as integrais (podemos agrupar constantes): tomando C=C_{2}-C_{1} obtemos
\frac{1}{2}\ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right|=\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 5

Simplificação e resolução implícita: multiplicando por 2,
\ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right|=x^{2}+2C.
Definindo K=\mathrm{e}^{2C} (constante positiva), e exponenciando ambos os lados,
\left|\frac{y-1}{y+1}\right|=K\,\mathrm{e}^{x^{2}}.
Para abranger sinais positivos e negativos podemos escrever a constante geral como C\in\mathbb{R} (permitindo C=0), obtendo a forma sem o valor absoluto:
\frac{y-1}{y+1}=C\,\mathrm{e}^{x^{2}},
onde C é uma constante arbitrária real (casos com C=0 e limites são tratados separadamente).

Passo 6

Isolando y (solução explícita): partindo de
\frac{y-1}{y+1}=C\,\mathrm{e}^{x^{2}},
fazemos álgebra para resolver para y. Multiplicando ambos os lados por y+1,
y-1=C\,\mathrm{e}^{x^{2}}(y+1).
Colocando os termos com y no mesmo lado:
y - C\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,y = 1 + C\,\mathrm{e}^{x^{2}}.
Fatorando y:
y\bigl(1 - C\,\mathrm{e}^{x^{2}}\bigr)=1 + C\,\mathrm{e}^{x^{2}}.
Desde que 1 - C\,\mathrm{e}^{x^{2}}\neq 0, temos
y(x)=\frac{1 + C\,\mathrm{e}^{x^{2}}}{1 - C\,\mathrm{e}^{x^{2}}}.
Essa é a forma explícita da família de soluções para constantes C tais que o denominador não zere (caso contrário há singularidade vertical e a solução só existe em intervalos onde o denominador não é zero).

Passo 7

Soluções constantes e observações sobre domínio:
  • Verificar soluções constantes: se y(x)\equiv 1 ou y(x)\equiv -1, então y^{2}-1=0 e dy/dx=0, portanto ambas são soluções particulares constantes. Note que y\equiv 1 também aparece do caso C=0 na fórmula explícita, mas y\equiv -1 é uma solução que não é obtida por valor finito de C na forma racional (aparece como limite/solução isolada) — então deve ser listada separadamente.
  • Domínio: para a solução geral y(x)=\dfrac{1 + C\,\mathrm{e}^{x^{2}}}{1 - C\,\mathrm{e}^{x^{2}}} deve-se excluir pontos x onde 1 - C\,\mathrm{e}^{x^{2}}=0. Assim cada solução é definida em intervalos onde esse denominador não se anula.

Resposta

y(x)\equiv 1\n y(x)\equiv -1\n y(x)=\dfrac{1 + C\,\mathrm{e}^{x^{2}}}{1 - C\,\mathrm{e}^{x^{2}}},\quad C\in\mathbb{R} (definida onde 1-C\,\mathrm{e}^{x^{2}}\neq0).

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