Resolva as EDOs abaixo: \frac{d y}{d x}=x\left(y^{2}-1\right).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}=x\bigl(y^{2}-1\bigr).
Informações dadas:
A equação relaciona a derivada dy/dx com x e y pela expressão acima.
Não há condição inicial fornecida, então queremos a solução geral (família de soluções).
O objetivo é encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa identidade.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática): a equação tem o lado direito escrito como produto de uma função que depende só de x (que é x) por uma função que depende só de y (que é y^{2}-1). Quando isso ocorre podemos usar separação de variáveis: rearranjamos para colocar todos os termos com y num lado e os termos com x no outro, e então integramos. A ideia é que a equação seja transformada numa igualdade do tipo g(y)\,dy = h(x)\,dx, que se integra diretamente.
Passo 3
Separação de variáveis: dividir ambos os lados por (y^{2}-1) (tomando cuidado com possíveis pontos onde isso é zero) e multiplicar por dx, obtendo
\frac{d y}{y^{2}-1}=x\,dx.
Agora cada lado depende de apenas uma variável: a cabeça esquerda só de y, a direita só de x. Vamos integrar ambos os lados.
Passo 4
Integração do lado esquerdo (explicação passo a passo): precisamos integrar
\int \frac{d y}{y^{2}-1}.
Usamos frações parciais porque y^{2}-1=(y-1)(y+1). Procuramos constantes A,B tais que
\frac{1}{y^{2}-1}=\frac{A}{y-1}+\frac{B}{y+1}.
Multiplicando por (y-1)(y+1) obtemos 1=A(y+1)+B(y-1). Igualando coeficientes ou avaliando em pontos convenientes:
para y=1: 1=A(2)\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
para y=-1: 1=B(-2)\Rightarrow B=-\tfrac{1}{2}.
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Para abranger sinais positivos e negativos podemos escrever a constante geral como C\in\mathbb{R} (permitindo C=0), obtendo a forma sem o valor absoluto:
\frac{y-1}{y+1}=C\,\mathrm{e}^{x^{2}},
onde C é uma constante arbitrária real (casos com C=0 e limites são tratados separadamente).
Passo 6
Isolando y (solução explícita): partindo de
\frac{y-1}{y+1}=C\,\mathrm{e}^{x^{2}},
fazemos álgebra para resolver para y. Multiplicando ambos os lados por y+1,
y-1=C\,\mathrm{e}^{x^{2}}(y+1).
Colocando os termos com y no mesmo lado:
y - C\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,y = 1 + C\,\mathrm{e}^{x^{2}}.
Essa é a forma explícita da família de soluções para constantes C tais que o denominador não zere (caso contrário há singularidade vertical e a solução só existe em intervalos onde o denominador não é zero).
Passo 7
Soluções constantes e observações sobre domínio:
Verificar soluções constantes: se y(x)\equiv 1 ou y(x)\equiv -1, então y^{2}-1=0 e dy/dx=0, portanto ambas são soluções particulares constantes. Note que y\equiv 1 também aparece do caso C=0 na fórmula explícita, mas y\equiv -1 é uma solução que não é obtida por valor finito de C na forma racional (aparece como limite/solução isolada) — então deve ser listada separadamente.
Domínio: para a solução geral y(x)=\dfrac{1 + C\,\mathrm{e}^{x^{2}}}{1 - C\,\mathrm{e}^{x^{2}}} deve-se excluir pontos x onde 1 - C\,\mathrm{e}^{x^{2}}=0. Assim cada solução é definida em intervalos onde esse denominador não se anula.