Verifique as soluções da EDOs abaixo:
Verifique se
é solução da equação
.
Verifique se
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a função candidata:
- Equação diferencial:
. - Função candidata:
.
A pergunta é: verificar se
satisfaz a equação diferencial dada (isto é, se ao substituir
e
na equação obtemos uma igualdade verdadeira).
Passo 2
Calcular a derivada de
.
Lembrete curto sobre derivada da exponencial: a derivada de
em relação a
é
. Assim, multiplicadores constantes saem da derivada.
Portanto,
Passo 3
Substituir
e
na expressão do lado esquerdo da equação
.
Somando os termos iguais:
Passo 4
Comparar o resultado da substituição com o lado direito da equação original.
O lado direito da equação é
. Encontramos que
ou seja, a igualdade é satisfeita para todos os
. Logo
é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.
Passo 5
(Complemento didático — método geral e interpretação) Mostrar rapidamente a solução geral da EDO
pelo fator integrante, para entender onde a solução dada se encaixa.
Para uma EDO linear de primeira ordem
o fator integrante é
. Aqui
, então
. Multiplicando a equação por
obtemos
Integrando,
Dividindo por
,
A função dada
corresponde ao caso
da solução geral, confirmando novamente que é uma solução particular.
Resposta
Sim:
é solução da equação
.