Verifique as soluções da EDOs abaixo:
Verifique se y(x)=\frac{1}{2} e^{x} é solução da equação \frac{d y}{d x}+y=e^{x}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a função candidata:
  • Equação diferencial: \dfrac{d y}{d x}+y=e^{x}.
  • Função candidata: y(x)=\dfrac{1}{2}e^{x}.
A pergunta é: verificar se y(x)=\dfrac{1}{2}e^{x} satisfaz a equação diferencial dada (isto é, se ao substituir y e y' na equação obtemos uma igualdade verdadeira).

Passo 2

Calcular a derivada de y(x)=\dfrac{1}{2}e^{x}.
Lembrete curto sobre derivada da exponencial: a derivada de e^{x} em relação a x é e^{x}. Assim, multiplicadores constantes saem da derivada.
Portanto,
y'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}e^{x}\right)=\frac{1}{2}e^{x}.

Passo 3

Substituir y(x) e y'(x) na expressão do lado esquerdo da equação \dfrac{d y}{d x}+y.
y'(x)+y(x)=\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}e^{x}.
Somando os termos iguais:
y'(x)+y(x)=e^{x}.

Passo 4

Comparar o resultado da substituição com o lado direito da equação original.
O lado direito da equação é e^{x}. Encontramos que
y'(x)+y(x)=e^{x},
ou seja, a igualdade é satisfeita para todos os x. Logo y(x)=\dfrac{1}{2}e^{x} é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.

Passo 5

(Complemento didático — método geral e interpretação) Mostrar rapidamente a solução geral da EDO y'+y=e^{x} pelo fator integrante, para entender onde a solução dada se encaixa.
Para uma EDO linear de primeira ordem y'+P(x)y=Q(x) o fator integrante é \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}. Aqui P(x)=1, então \mu(x)=e^{x}. Multiplicando a equação por \mu obtemos
(e^{x}y)'=e^{x}\cdot e^{x}=e^{2x}.
Integrando,
e^{x}y=\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C.
Dividindo por e^{x},
y(x)=\frac{1}{2}e^{x}+C e^{-x}.
A função dada y(x)=\dfrac{1}{2}e^{x} corresponde ao caso C=0 da solução geral, confirmando novamente que é uma solução particular.

Resposta

Sim: y(x)=\dfrac{1}{2}e^{x} é solução da equação \dfrac{d y}{d x}+y=e^{x}.

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