Resolva as EDOs abaixo separando as variáveis
integrando.
10.
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Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede que a resolvamos separando variáveis e integrando. Ou seja, encontrar as soluções
que satisfazem essa relação para
numa vizinhança adequada. Não há condição inicial fornecida, então procuramos a solução geral (com constante arbitrária) e também verificamos possíveis soluções que possam ter sido perdidas no processo de separação.
Passo 2
Escrevendo a derivada de forma explícita, temos
Para separar variáveis, queremos colocar todos os termos com
multiplicando
de um lado e todos os termos com
multiplicando
do outro. Antes disso há uma observação importante: a operação de dividir por
só é válida se
. Então fazemos a separação assumindo primeiro
.
Passo 3
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
) e multiplicando por
, obtemos
Agora integramos os dois lados em relação às suas variáveis correspondentes.
Passo 4
Calcule as integrais. Na regra geral, para qualquer
vale
. Aqui
, portanto
No lado direito,
onde
é a constante de integração. Igualando as duas integrais:
Passo 5
Isolando
a partir de
:
Definindo uma constante alternativa
(ainda arbitrária), obtemos
Invertendo,
Renomeando
simplesmente como
(constante arbitrária real), a forma mais usual da solução geral obtida por separação é
onde
. Lembre-se que essa expressão foi obtida sob a hipótese
.
Passo 6
Verifique se existiram soluções perdidas ao dividir por
. A função
(identicamente zero) satisfaz a equação original, pois
e
. Essa solução constante não aparece na família
(pois essa família é indefinida quando
mas nunca é identicamente zero), logo deve ser acrescentada separadamente.
Passo 7
Comentário sobre domínio e condição inicial (útil para prova): a solução
tem singularidade (explode) em
. Portanto cada solução é válida apenas em intervalos que não contenham
. Se houver uma condição inicial
com
, determina-se
por
Exemplo rápido: se
então
e a solução é
.