Resolva as EDOs abaixo separando as variáveis (f(y) d y=g(x) d x) e integrando.
10. y^{\prime}=y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = y^{2}
e pede que a resolvamos separando variáveis e integrando. Ou seja, encontrar as soluções y(x) que satisfazem essa relação para x numa vizinhança adequada. Não há condição inicial fornecida, então procuramos a solução geral (com constante arbitrária) e também verificamos possíveis soluções que possam ter sido perdidas no processo de separação.

Passo 2

Escrevendo a derivada de forma explícita, temos
\frac{dy}{dx}=y^{2}.
Para separar variáveis, queremos colocar todos os termos com y multiplicando dy de um lado e todos os termos com x multiplicando dx do outro. Antes disso há uma observação importante: a operação de dividir por y^{2} só é válida se y\neq0. Então fazemos a separação assumindo primeiro y\neq0.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por y^{2} (assumindo y\neq0) e multiplicando por dx, obtemos
\frac{1}{y^{2}}\,dy = dx.
Agora integramos os dois lados em relação às suas variáveis correspondentes.

Passo 4

Calcule as integrais. Na regra geral, para qualquer n\neq-1 vale \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1}. Aqui n=-2, portanto
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy = \int y^{-2}\,dy = \frac{y^{-1}}{-1} = -\frac{1}{y}.
No lado direito,
\int dx = x + C,
onde C é a constante de integração. Igualando as duas integrais:
-\frac{1}{y} = x + C.

Passo 5

Isolando y a partir de -\dfrac{1}{y}=x+C:
\frac{1}{y} = -x - C.
Definindo uma constante alternativa C_{1}=-C (ainda arbitrária), obtemos
\frac{1}{y} = C_{1} - x.
Invertendo,
y(x)=\frac{1}{C_{1}-x}.
Renomeando C_{1} simplesmente como C (constante arbitrária real), a forma mais usual da solução geral obtida por separação é
y(x)=\frac{1}{C-x},
onde C\in\mathbb{R}. Lembre-se que essa expressão foi obtida sob a hipótese y\neq0.

Passo 6

Verifique se existiram soluções perdidas ao dividir por y^{2}. A função y\equiv0 (identicamente zero) satisfaz a equação original, pois y'=0 e y^{2}=0. Essa solução constante não aparece na família \dfrac{1}{C-x} (pois essa família é indefinida quando C-x\to\infty mas nunca é identicamente zero), logo deve ser acrescentada separadamente.

Passo 7

Comentário sobre domínio e condição inicial (útil para prova): a solução \displaystyle y(x)=\frac{1}{C-x} tem singularidade (explode) em x=C. Portanto cada solução é válida apenas em intervalos que não contenham x=C. Se houver uma condição inicial y(x_{0})=y_{0} com y_{0}\neq0, determina-se C por
\frac{1}{y_{0}}=C-x_{0}\quad\Rightarrow\quad C = x_{0}+\frac{1}{y_{0}}.
Exemplo rápido: se y(0)=2 então C=0+\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2} e a solução é y(x)=\dfrac{1}{\tfrac{1}{2}-x}=\dfrac{2}{1-2x}.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{C-x},\quad C\in\mathbb{R}
y(x)\equiv 0

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