Resolva as EDOs abaixo separando as variáveis (f(y) d y=g(x) d x) e integrando.
12. y^{\prime}=x / y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\frac{x}{y^{2}}
e pede para resolvê-la separando variáveis e integrando.
Informações importantes que já temos:
  • A incógnita é y função de x.
  • A derivada y' significa \dfrac{dy}{dx}.
  • Quer-se a solução geral (não foi dada condição inicial).

Passo 2

Interpretação da equação e preparação para separar variáveis.
Escrevendo a derivada explicitamente:
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y^{2}}.
A ideia de separar variáveis é reorganizar a equação para que todos os termos com y fiquem multiplicando dy de um lado e todos os termos com x fiquem multiplicando dx do outro lado, de modo a poder integrar cada lado em sua própria variável.

Passo 3

Separando as variáveis com cuidado (multiplicando ambos os lados por y^{2} e por dx):
y^{2}\,dy=x\,dx.
Aqui foi usada a propriedade de frações e a notação diferencial: é válido manipular \dfrac{dy}{dx} como uma razão e multiplicar ambos os lados por y^{2}dx.

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int y^{2}\,dy=\int x\,dx.
Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C (quando n\neq-1). No lado esquerdo u=y e n=2; no direito u=x e n=1. Executando as integrais:
\frac{1}{3}y^{3}=\frac{1}{2}x^{2}+C,
onde C é a constante de integração (uma única constante engloba possíveis constantes de cada lado).

Passo 5

Isolando y. Multiplicando por 3 e renomeando a constante (não importa o nome, apenas que é uma constante arbitrária):
y^{3}=\frac{3}{2}x^{2}+C_{1}.
Tomando a raiz cúbica para obter y explicitamente:
y(x)=\left(\frac{3}{2}x^{2}+C_{1}\right)^{1/3}.
Observações importantes para a prova (coisas que costumam aparecer como pegadinhas):
  • A raiz cúbica está definida para números negativos também, então a expressão acima dá soluções com sinais diversos dependendo de C_{1}.
  • A equação original tem y no denominador; portanto a EDO não está definida quando y=0. Soluções obtidas valem em intervalos onde y(x)\neq 0. Se alguém der uma condição inicial com y(x_{0})=0, o problema da condição inicial é inválido porque a EDO não está definida nesse ponto.
  • Se houver condição inicial y(x_{0})=y_{0} com y_{0}\neq0, determine C_{1} por
C_{1}=y_{0}^{3}-\frac{3}{2}x_{0}^{2},
e então substitua em y(x)=\big(\tfrac{3}{2}x^{2}+C_{1}\big)^{1/3}.

Passo 6

Um exemplo curto para fixar (opcional, mas útil): se fosse dada y(0)=2, então C_{1}=2^{3}=8 e a solução seria
y(x)=\left(\frac{3}{2}x^{2}+8\right)^{1/3}.

Resposta

y^{3}=\frac{3}{2}x^{2}+C
y(x)=\left(\frac{3}{2}x^{2}+C\right)^{1/3}

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