Resolva as EDOs abaixo separando as variáveis
integrando.
12.
12.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê-la separando variáveis e integrando.
Informações importantes que já temos:
Informações importantes que já temos:
- A incógnita é
função de . - A derivada
significa . - Quer-se a solução geral (não foi dada condição inicial).
Passo 2
Interpretação da equação e preparação para separar variáveis.
Escrevendo a derivada explicitamente:
Escrevendo a derivada explicitamente:
A ideia de separar variáveis é reorganizar a equação para que todos os termos com
fiquem multiplicando
de um lado e todos os termos com
fiquem multiplicando
do outro lado, de modo a poder integrar cada lado em sua própria variável.
Passo 3
Separando as variáveis com cuidado (multiplicando ambos os lados por
e por
):
Aqui foi usada a propriedade de frações e a notação diferencial: é válido manipular
como uma razão e multiplicar ambos os lados por
.
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação às suas variáveis:
Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para
(quando
). No lado esquerdo
e
; no direito
e
. Executando as integrais:
onde
é a constante de integração (uma única constante engloba possíveis constantes de cada lado).
Passo 5
Isolando
. Multiplicando por
e renomeando a constante (não importa o nome, apenas que é uma constante arbitrária):
Tomando a raiz cúbica para obter
explicitamente:
Observações importantes para a prova (coisas que costumam aparecer como pegadinhas):
- A raiz cúbica está definida para números negativos também, então a expressão acima dá soluções com sinais diversos dependendo de
. - A equação original tem
no denominador; portanto a EDO não está definida quando . Soluções obtidas valem em intervalos onde . Se alguém der uma condição inicial com , o problema da condição inicial é inválido porque a EDO não está definida nesse ponto. - Se houver condição inicial
com , determine por
e então substitua em
.
Passo 6
Um exemplo curto para fixar (opcional, mas útil): se fosse dada
, então
e a solução seria